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例1:证明:
(1)三次交错群A3是循环群,它与(Z3,+)同构,其中Z3 = {[0],[1],[2]};
(2)G = {1,i,-1,-i},G上的代数运算是数的乘法,则G是一个循环群,它同构于(Z4,+),其中Z4 = {[0],[1],[2],[3]}。
证:(1)A3 = {(1),(123),(132)},由于(123)^1 = (123),(123)^2 = (132),(123)^3 = (1),
所以A3中所有元素均可以由(123)生成,因此A3是一个循环群,且(123)是其生成元,即A3 = ((123)),
定义映射f:A3→Z3为f((123)^k) = [k],易证f是一个同构映射:
①对任意的(123)^k∈A3,存在[k]∈Z3与之对应,因此f是一个映射;
②对任意的[k]∈Z3,存在(123)^k∈A3与之对应,因此f是一个满射;
③由f((123)^k) = f((123)^h),可得出[k] = [h],从而(123)^k = (123)^h,因为假若(123)^k ≠ (123)^h,则(123)^(k-h) ≠ (123)^(h-h) = (1),这样[k]-[h] = [k-h]=f((123)^(k-h)) ≠ f((123)^(h-h)) = [h-h] = [0],即[k] - [h] ≠ [0],即[k] ≠ [h]+[0] = [h],这与前提条件矛盾,所以(123)^k = (123)^h,
因此f是一个单射;
④f((123)^k o (123)^h) = f((123)^(k+h)) = [k+h] = [k]+[h] = f((123)^k) + f((123)^h),因此f是一个同态映射。
综上所述,f是从A3→Z3的一个同构映射,从而(A3,o) ≅ (Z3,+)。
(2)因为i^1 = i,i^2 = -1,i^3 = -i,i^4 = 1,所以G中所有的元素都可以由其中的i生成,因此G是一个循环群,i是其生成元,即G = (i),
定义映射g:G→Z4为g(i^k) = [k],按照和(1)中同样的步骤,可以证明g是一个同构映射,
从而(G,×) ≅ (Z4,+)。
例2:求Z2,Z3,Z4,...,Z8中各元素的阶,并找出它们所有的生成元。
解:①Z2 = {[0],[1]},其中[0]是单位元,[0]^1 = [0],[1]^2 = [1]+[1] = [2] = [0],所以|[0]| = 1,|[1]| = 2,元素[0]和[1]均可以由[1]生成,所以[1]是生成元;
②Z3 = {[0],[1],[2]},其中[0]是单位元,[0]^1 = [0],[1]^3 = [1]+[1]+[1] = [3] = [0],[2]^3 = [6] = [0],所以|[0]| = 1,|[1]| = 2,|[2]| = 3,所有元素均可以由[1]或[2]生成,所以[1]、[2]是生成元;
③Z4 = {[0],[1],[2],[3]},|[0]| = 1,|[1]| = 4,|[2]| = 2,|[3]| = 4,[1],[2],[3]均是其生成元;
④Z5 = {[0],[1],[2],[3],[4]},|[0]| = 1,|[1]| = 5,|[2]| = 5,|[3]| = 5,|[4]| = 5,[1],[2],[3],[4]均是其生成元;
⑤Z6 = {[0],[1],[2],[3],[4],[5]},|[0]| = 1,|[1]| = 6,|[2]| = 3,|[3]| = 2,|[4]| = 3,|5| = 6,[1],[2],[3],[4],[5]均是其生成元;
⑥Z7 = {[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6]},|[0]| = 1,|[1]| = 7,|[2]| = 7,|[3]| = 7,|[4]| = 7,|[5]| = 7,[1],[2],[3],[4],[5],[6]均是其生成元;
⑦Z8 = {[0],[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7]},|[0]| = 1,|[1]| = 8,|[2]| = 4,|[3]| = 8,|[4]| = 2,|[5]| = 8,[1],[2],[3],[4],[5],[6],[7]均是其生成元;
(待续……)
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