数学建模30种基本模型_数学建模中简单的优化模型

本文介绍较简单的优化模型，归结微积分中函数的机制问题，可以直接用微分法求解。

1. 存贮模型

工厂订购原料，出售商品，都需要确定贮存量。

1.1不允许缺货的存贮模型

经济批量订货公式（EOQ公式）

用于订货、供应、存贮情形

每天需求量 r，每次订货费 c1,每天每件贮存费 c2 T天订货一次(周期), 每次订货Q件，当贮存量降到零时，Q件立即到货。

1.2允许缺货模型

原理较简单，使用时查阅运筹学存贮论部分。

2.生猪的出售时机

问题：饲养场每天投入4元资金，用于饲料、人力、设备，估计可使80千克重的生猪体重增加2公斤。市场价格目前为每千克8元，但是预测每天会降低 0.1元，问生猪应何时出售。如果估计和预测有误差，对结果有何影响。

敏感性分析：假设一个量不变的情况下，分析另一个参数。

可以用相对改变量衡量结果对参数的影响。

强健性分析：模型要考虑非线性和不确定性。

3.森林救火

综合考虑森林的损失费和救援费与消防人员之间的关系，以总费用最小来决定排出队员的多少。

4.消费者的选择

“消费者追求最大效用”是经济学最优化原理的一条，用数学建模的方法来帮助消费者决定他在市场里的选择。

效用函数

当消费者购得数量分别为x1和x2的甲乙两种商品时，给消费者带来的效用可以用一个数值来衡量，它是x1和x2的函数，记作u(x1,x2),称为效用函数。利用等高线的概念在x1,x2平面画出效用函数的等值线，称为等效用线。等效用线是一组单调减、下凸、互不相交的曲线。

效用最大化模型

设甲乙两商品的单价分别为p1和p2，消费者准备付出的钱数为y，则他购得的商品数满足

P1x1+p2x2=y

所谓效用最大化，就是在满足上式得情况下使效用函数最大。

如果知道了效用函数的解析表达式，那么可以按照二元函数的条件极值求解上述问题。引入拉格朗日乘子

由

，

，可得最优解满足

数学中的导数在经济学中一般称为边际，于是两个偏导称为边际效用。上式表明，当商品的效用之比等于它们的价格之比时，效用函数达到最大。

效用函数的构建

要对效用最大化模型进行分析，需要有效用函数的解析表达式。给出一个便于构造和检验的充分条件。

5.生产者的决策

生产者追求最大利润是经济学的另一条最优化原理

最大利润模型

众所周知，生产者的利润等于产品的产值减去成本，记生产者对产品的投入量为x，产值和成本都是x的函数，分别记作f(x)和c(x),则利润r(x)为

r(x)=f(x)-c(x)

使利润达到最大的投入量x*可以从r’(x*)=0得到

f'(x*)=c’(x*)

最大利润在边际产值等于边际成本时达到。这是经济学的一条著名定律。

6.血管分支

根据响应原理列方程。

7.冰山运输

根据数据列方程。