数据结构——平衡二叉树_完全二叉树结点的平衡因子取值只可能为

——本节内容为Bilibili王道考研《数据结构》P52视频内容笔记。

---

目录

一、定义

二、结构体定义

三、插入操作

四、查找效率分析

---

一、定义

1.平衡二叉树，简称平衡树（AVL树），树上任一结点的左子树和右子树的高度之差不超过1；

2.结点的平衡因子=左子树高-右子树高；

3.平衡二叉树结点的平衡因子的值只可能是-1、0、1；

4.只要有任一结点的平衡因子绝对值大于1，就不是平衡二叉树。

---

二、结构体定义

1.key为数据域；

2.balance为平衡因子。

typedef struct AVLNode {
 int key;
 int balance;
 struct AVLNode* lchild, * rchild;
}AVLNode,*AVLTree;

---

三、插入操作

在二叉树中插入新结点后，如何保持平衡？

1.从插入点往回找到第一个不平衡结点，调整以该结点为根的子树（即每次调整的对象都是“最小不平衡子树”）；

2.在插入操作中，只要将最小不平衡子树调整平衡，则其他祖先结点都会恢复平衡；

3.要满足：（1）恢复平衡；（2）保持二叉排序树的特性（左子树结点值<根结点值<右子树结点值），分为以下四种情况：

①LL：在A的左孩子的左子树插入导致不平衡：

        LL平衡右旋（右单旋转）。由于在结点A的左孩子（L）的左子树（L）上插入了新结点，A的平衡因子由1增至2，导致以A为根的子树失去平衡，需要一次向右的旋转操作。将A的左孩子B向右上旋转代替A成为根结点，将A结点向右下旋转成为B的右子树的根结点，而B的原右子树则作为A结点的左子树。

//f.lchild = p.rchild;
//p.rchild = f;
//gf.lchild / rchild = p;

②RR：在A的右孩子的右子树插入导致不平衡：

        RR平衡左旋（左单旋转）。由于在根结点A的右孩子（R）的右子树（R）上插入了新结点，A的平衡因子由-1减至-2.导致以A为根的子树失去平衡，需要一次向左的旋转操作。将A的右孩子B向左上旋转代替A成为根结点，将A结点向左下旋转成为B的左子树的根结点，而B的原左子树则作为A结点的右子树。（操作同LL类似，省略图示）

//f.rchild = p.lchild;
//p.lchild = f;
//gf.lchild / rchild = p;

③RL：在A的右孩子的左子树插入导致不平衡：

        RL平衡旋转（先右后左双旋转）。由于在A的右孩子（R）的左子树（L）上插入新结点，A的平衡因子由-1减至-2，导致以A为根的子树失去平衡，需要进行两次旋转操作，先右旋转后左旋转。先将A结点的右孩子B的左子树的根结点C向右上旋转提升到B结点的位置，然后再把该C结点向左上旋转提升到A结点的位置。

④LR：在A的左孩子的右子树插入导致不平衡：

         LR平衡旋转（先左后右双旋转）。由于在A的左孩子（L）的右子树（R）上插入新结点，A的平衡因子由1增至2，导致以A为根的子树失去平衡，需要进行两次旋转操作，先左旋转后右旋转。先将A结点的左孩子B的右子树的根结点C向左上旋转提升到B结点的位置， 然后再把该C结点向右上旋转提升到A结点的位置。

4.一步到位操作

        RL 和 LR 两种操作可以由两步合并为一步，总结：先写C结点作为根结点，其左孩子为左旋操作所替代的结点，右孩子为右旋操作所替代的结点，将C结点的左子树放到左旋替代的结点的右子树的位置，将C结点的右子树放到右旋替代的结点的左子树的位置，其他都不变。

5.只有左孩子才有可能进行右旋操作，只有右孩子才有可能进行左旋操作；

6.在插入操作中，只要将最小不平衡子树调整平衡，则其他祖先结点都会恢复平衡；因为插入操作导致“最小不平衡子树”高度+1，经过调整后高度恢复，而平不平衡就是树高h决定的。

---

四、查找效率分析

1.若树高为h，则最坏情况下，查找一个关键字最多需要对比h次，即查找操作的时间复杂度不可能超过O(h)；

2.假设以  表示深度为 h 的平衡树中含有的最少结点数，则有：

3.基于上述公式可以证明：含有n个结点的平衡二叉树的最大深度为  ，平衡二叉树的平均查找长度（查找操作的时间复杂度）为  。