基于spss的分段回归模型（piecewise linear regression）_分段线性回归

一、简介

 分段线性回归是指当y对x的回归在x的某一范围的服从某种线性关系，在其他范围内又服从斜率不同的线性关系时适用的一种回归估计方法。这种方法使用指示变量对各段(即不同范围的)数据同时拟合统—的回归模型 。
 某些变量之间的关系非常有趣，不是恒久的线性或非线性关系，可能其中一段表现为线性，而另一段表现为非线性。例如，我们举一个每个人都有切身体会的例子，人的身高和年龄的关系，在3岁到10岁期间，它们基本是线性相关，而高中以后，身高基本定型，不再随年龄的增加而增长。对于这样的变量关系，在3到10岁期间，我们可以用一个线性方程来拟合年龄和身高的关系，而高中以后则需要换另一个方程，可以是线性的，也可以是非线性的，需要根据数据情况来选择。这就是分段回归模型的分析思路。
 通常的做法是对每个部分进行单独拟合，但是这样做参数较多，且样本被人为分开，当样本量较小时会导致分析结果的准确性很差。
 SPSS的非线性回归模块完美的解决了这个问题，可直接对分段函数进行直接拟合，以充分利用信息，提高模型的预测精度。由于原理简单，我们下面用一个具体的案例来介绍如何利用SPSS进行分段回归模型拟合。

二、模型分析

 分段线性回归模型由两条直线组成，但在折点处曲线仍是连续的。考虑以下的基本模型：$$Y_i={\beta }_0+{\beta }_1{X}_t+u_t$$ 假定因变量$Y$和解释变量$X$均呈现随时间稳定增长的趋势，在时间$t=t_0$处反映两者之间关系的曲线出现转折，使得两段曲线的截距和斜率都发生变化，但$Y$的变化具有连续性。我们设定以下形式的虚拟变量： D t = { 0 ,    ( t < t 0 ) 1 ,    ( t ≥ t 0 ) D_{t}=\left\{

$$\begin{matrix} 0,\: \: (t<t_{0})\\ 1,\: \: (t\geq t_{0})\end{matrix}$$ \right. Dt​={0,(t<t0​)1,(t≥t0​)​ 然后将待估计的分段线性回归模型写成：$$Y_t={\beta }_0+{\beta }_1{X}_t+{\beta }_2(X_t-X_{t_0})D_t+u_t(1)$$由式(1)可以看出，当$t$处于不同时间段时，$Y$的期望值分别为：
 当$t<t_0$时，有$E(Y_t)={\beta }_0+{\beta }_1{X}_t$;
 当$t>t_0$时，有$E(Y_t)=({\beta }_0-{\beta }_2{X}_{t_0})+({\beta }_1+{\beta }_2)X_t$
 当$t=t_0$时，有$E(Y_t)={\beta }_0+{\beta }_1{X}_{t_0}=({\beta }_0-{\beta }_2{X}_{t_0})+({\beta }_1+{\beta }_2)X_{t_0}$
 即在$t=t_0$处曲线为连续的。

三、基于spss的案例分析

 下面有一份数据，记录了该地去年5 月到8月的日平均气温，以及当天的居民用电总量，希望建立居民用电量与日平均气温间的预报方程。

##分析步骤

（一）图像分析

 根据散点图展示的变量关系，来选择合适的回归模型。
 绘制散点图：【图形】-【旧对话框】-【散点图】
 由上图可知，日平均气温对用电量的影响分成两个阶段：24摄氏度以下时，用电量并不会随着气温的改变而显著增加；24摄氏度以上时，用电量随着平均气温的上升呈现明显的上升趋势。因此，该数据的模型可以这样写：
 $用电量=b_1;平均温度t<24^{o}C$
 $用电量=a_2\ast 平均温度+b_2;平均气温t\ge 24^{o}C$

（二）回归分析

 选择菜单【分析】-【回归】-【非线性回归】；在跳出的对话框中作如下操作。将生活用电量选为因变量，在模型表达式框内输入：(平均气温 < 24)b1+(平均气温 >= 24)(a2*平均气温+b2)；点击参数，设置表达式中的三个参数，由于是比较线性模型，迭代初始值都设置为1。点击继续，然后点击确定，输出结果：
 根据模型参数值表格，我们可以写出两个回归方程：
 $用电量=2157.618;平均温度t<24^{o}C$
 $用电量=86.536\ast 平均温度+77.562;平均气温$

 为了验证根据前面我们根据散点图选定的24摄氏度趋势分界点是否为数据的合理趋势分界点，将24摄氏度代入回归方程2，可算得用电量的估计值为2157. 52，因此以24摄氏度作为分段点是比较合理的。

 上图是自变量与残差的散点图，可见在24摄氏度前后，残差的分布都是随机的，且前后没有明显变化，离散程度基本相同，因此对数据进行分段回归模型拟合是合理的。
 其中，预测值和残差图，要在构建回归模型页面【保存】-勾选【预测值】、【残差】

参考文章：

[1]百度百科：分段回归
[2]微信公众号生活统计学：SPSS分析技术：分段拟合；电业局如何通过简单的回归模型来预测居民用电量？