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对于在三维空间里的一个参考系,任何坐标系的取向,都可以用三个欧拉角来表现。参考系又称为实验室参考系,是静止不动的。而坐标系则固定于刚体,随着刚体的旋转而旋转。
如图所示。设定xyz-轴为参考系的参考轴。称xy-平面与XY-平面的相交为交点线,用英文字母(N)代表。zxz顺规的欧拉角可以静态地这样定义:
α \alpha α 是 x-轴与交点线的夹角,
β \beta β 是z-轴与Z-轴的夹角,
γ \gamma γ 是交点线与X-轴的夹角。
很可惜地,对于夹角的顺序和标记,夹角的两个轴的指定,并没有任何常规。科学家对此从未达成共识。每当用到欧拉角时,我们必须明确的表示出夹角的顺序,指定其参考轴。
下面我们通过图例来看看欧拉角是如何产生的,并且分别对应哪个角度。
欧拉角Eulerian angles用来确定定点转动刚体位置的3个一组独立角参量,由章动角 θ、旋进角(即进动角)ψ和自转角j组成。
欧拉角包括3个旋转,根据这3个旋转来指定一个刚体的朝向。这3个旋转分别绕x轴,y轴和z轴,分别称为 Roll(翻滚),Pitch(俯仰) 和 Yow(偏航),如下图所示。旋转的遵循右手坐标系,欧拉角可以表示成z-x-z,x-y-x,z-y-z等形式,旋转的顺序影响结果。
欧拉角很重要的一个优点就是直观,容易理解。
优点:
缺点:
对于动态欧拉角,即绕物体坐标系旋转。(静态不存在万向锁的问题)无论heading和bank为多少度,只要pitch为±90°(即绕第二个轴的旋转),就会出现万向锁现象。
为了对这一现象有一个感性的认识,请拿起自己的手机(没有?不会吧)和一支笔(用作旋转轴),
亲手做如下的几个旋转。
首先确定手机的物体坐标系朝向,为了方便记忆,我们假设z轴与手机屏幕垂直(手机平放于桌面)指向上方, 手机较短的一条边为x轴,较长的一条边为y轴(方向由手机尾部指向头部),物体坐标系的原点是手机左下角的顶点。(注意旋转顺序为zyx)绕z轴旋转任意角度(注意x和y轴也跟着一起旋转),再绕y轴旋转90°,再绕x轴旋转任意角度。通过多次尝试, 你会发现一个共同点:z轴永远是水平的,通俗的说,手机永远也不会立起来!本来我们以为手机会指向任何方向,但实际上手机好像是被锁在桌面上,只能指向水平的某个方向,这个现象就称为万向锁。 而如果绕y轴旋转不等于90°(1°也好89°也好),只要选择适当的绕x和z的角度,就可以让手机指向三维空间中的任何一个方向,手机是自由的,也就不会遇到万向锁现象。
万向锁的避免问题:限制旋转的角度范围
什么是四元数?
在计算机图形学中,四元数用于物体的旋转,是一种较为复杂,但是效率较高的旋转方式。在三种坐标变换:旋转,平移,缩放当中,旋转应该算是比较复杂的存在。平常我们接触的比较多的是矩阵变换和欧拉变换。 对于一个物体的旋转,其实我们只需要知道四个值:一个旋转的向量 + 一个旋转的角度。而四元数也正是这样的设计:
其中x,y,z 代表的是向量的三维坐标,w代表的是角度;同时我们也可以写成以下的形式方便我们计算和分析: q = ( x , y , z , w ) q=(x,y,z,w) q=(x,y,z,w)
其实,四元数本质上是一个超复数, q = x i + y j + z k + w , i 2 = j 2 = k 2 = − 1 q = xi + yj + zk + w \space \space \space, \space \space \space i^2 = j^ 2 = k^2 = -1 q=xi+yj+zk+w , i2=j2=k2=−1
q
=
[
v
⃗
w
]
q=
内部由四个数字(在Unity中称为x,y,z和w)组成,然而这些数字不表示角度或轴,并且通常不需要直接访问它们。除非你特别有兴趣深入了解四元数学,你只需要知道四元数表示三维空间中的旋转,你通常不需要知道或修改x,y和z属性。
优点:
缺点:
https://www.jianshu.com/p/21ab3e1d3422
http://mini.eastday.com/mobile/180306210610472.html
https://blog.csdn.net/wwlcsdn000/article/details/79421612
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