【机器学习笔记】多元线性回归_7.多元线性回归 w b

简介

多元线性回归，将多个自变量x，拟合因变量y，形成表达式：y = x β + μ，能够对新的自变量进行回归预测；

前提假设

1. 因变量y与参数β的表达式呈线性性；
2. 样本随机性；
3. 自变量x不存在线性共线性；
4. 残差项独立同分布于均值为0，方差固定的高斯分布；
5. 残差与自变量独立；

参数求解

损失函数：误差平方和SSE，(Xb - y)'(Xb - y)；
X’X满秩时，利用最小二乘法，对X求偏导等于0，可整理求得β的表达式：

X’X不满秩时，可以利用梯度下降法求解β的近似解，也可用岭回归方式：

进而得到μ的表达式：μ = y - x β

拓展

1. 岭回归：将损失函数引入系数β的L2范数惩罚项（最小二乘法求解参数）；
2. Lasso：将损失函数引入系数β的L1范数惩罚项（坐标下降法求解参数）；
3. 优缺点：引入惩罚项减少过拟合、且避免了自变量多重共线性问题导致的模型失真；但容易引起欠拟合，且对参数的估计为有偏估计，降低了可解释性；

sklearn实战

重要参数

class sklearn.linear_model.Ridge(
	alpha=1.0,
	fit_intercept=True, 
	normalize=False,
	copyX=True, 
	maxiter=None, 
	tol=0.001,
	solver='auto', 
	random_state=None
	):
	# alpha	损失函数惩罚项系数，默认为1，越大对系数值惩罚越大；
	# fit_intercept	是否计算该模型的截距，默认计算；
class sklearn.linear_model.Lasso(
	alpha=1.0, 
	fit_intercept=True, 
	normalize=False, 
	precompute=False, 
	copy_X=True, 
	max_iter=1000, 
	tol=1e-4, 
	warm_start=False, 
	positive=False, 
	random_state=None, 
	selection=’cyclic’
	)：
	# 同上
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回归任务

from sklearn import datasets
from sklearn.model_selection import train_test_split
from sklearn.linear_model import LinearRegression, LassoCV, RidgeCV

# 波士顿房价数据
data = datasets.load_boston()
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(data["data"], data["target"], test_size=0.3, random_state=42)

# 线性回归
model = LinearRegression(normalize=True)
model.fit(X_train, y_train)
print("linear loss train: ", model.score(X_train, y_train))
print("linear loss test: ", model.score(X_test, y_test))

# 岭回归
model = RidgeCV(normalize=True)
model.fit(X_train, y_train)
print("Ridge loss train: ", model.score(X_train, y_train))
print("Ridge loss test: ", model.score(X_test, y_test))

# Lasso回归
model = LassoCV(normalize=True)
model.fit(X_train, y_train)
print("Lasso loss train: ", model.score(X_train, y_train))
print("Lasso loss test: ", model.score(X_test, y_test))
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参考

https://zhuanlan.zhihu.com/p/400443773
https://mp.weixin.qq.com/s?__biz=MzA3NDg2NzQzNw==&mid=2650966686&idx=1&sn=2fb088a8c2c2627ca2caa9b8d0ec63df&chksm=848f1d1cb3f8940a63e4311f4c7858186c0cd352f2ef16ec80df37b84825b82b2d65d45823d5&scene=27