漫步微积分十七——最大最小值问题（续）_用微积分求圆柱体最小表面积

我们用其他的例子继续讨论上一篇文章的基本方法。

例1：圆柱形汤罐头的制造商接了一笔大订单，订单要求罐头的体积为$V_0$。哪种尺寸可以最小化罐头的表面积，也就是所需的金属最少？

解：$r,h$分别表示圆柱底的半径和高(图1，左)，那么体积为

$$\begin{equation} V_0=\pi r^2h\tag1 \end{equation}$$
总的表面积为
$$\begin{equation} A=2\pi r^2+2\pi rh\tag2 \end{equation}$$
我们必须最小化 $A$，它是两个变量的函数，利用等式(1)得到$h=V_0/\pi r^2$，代入 $A$得
$$\begin{align} A &=2\pi r^2+2\pi r\cdot \frac{V_0}{\pi r^2}\\ &=2\pi r^2+\frac{2V_0}{r}\tag3 \end{align}$$

图1

函数图像(图1，右)表明，$r$小或大时，$A$都大，那么在中间的某个位置存在最小值。跟之前一样，为了找到最小值的精确位置，我们对(3)求导，并让它等于零得

$$\frac{dA}{dr}=4\pi r-\frac{2V_0}{r^2},\quad 4\pi r-\frac{2V_0}{r^2}=0,\quad 4\pi r^3=2V_0,$$
$$\begin{equation} 2\pi r^3=V_0\tag4 \end{equation}$$
如果需要更多参数的解，可以根据等式(4)解出 $r$，然后用它来计算$h$
$$r=\sqrt[3]{\frac{V_0}{2\pi}},\quad h=\frac{V_0}{\pi r^2}=\frac{V_0}{\pi}\left(\frac{2\pi}{V_0}\right)^{2/3}=2\sqrt[3]{\frac{V_0}{2\pi}}$$
从中我们可以看到 $h=2r$。如果主要对形状感兴趣，那么将 $V_0=\pi r^2h$代入(4)得
$$2\pi r^3=\pi r^2h\quad or\quad 2r=h.$$
从降低原材料的角度考虑(最制造商非常重要)，这个结果告诉我们圆柱形罐头最好的形状是高等于底的直径。

例2：找出使圆柱体体积最大时的高与直径比。圆柱可以内接于半径为$R$的球内。

解：画一个外接球，如图2左，那么我们看到

$$\begin{equation} V=2\pi x^2y\tag5 \end{equation}$$
其中

$$\begin{equation} x^2+y^2=R^2\tag6 \end{equation}$$

图2

可视化极端的情况(图2，右)，当 $x$趋近$0,R$时， $V$都很小，所以在极端情况之间存在最大体积的尺寸。为了找到它，将(6)代入(5)的
$$V=2\pi y(R^2-y^2)=2\pi(R^2y-y^3)$$
求导得
$$\frac{dV}{dy}=2\pi(R^2-3y^2)$$
令其等于零得出 $y$，然后利用(6)得出$x$
$$y=\frac{R}{\sqrt{3}}\qquad x=\sqrt{R^2-\frac{1}{3}R^2}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}R$$
最大圆柱的高与直径比为
$$\frac{2y}{2x}=\frac{y}{x}=\frac{1}{\sqrt{2}}=frac{1}{2}\sqrt{2}\cong 0.707$$

这个结果利用隐函数求导会效率更高。$x$作为独立变量，$y$ 作为函数的因变量，那么根据(6)得到

$$2x+2y\frac{dy}{dx}=0\quad or\quad\frac{dy}{dx}=-\frac{x}{y}$$
根据(5)可得
$$\begin{eqnarray*} \frac{dV}{dx} &=&2\pi\left(x^2\frac{dy}{dx}+2xy\right)=2\pi\left[x^2\left(-\frac{x}{y}\right)+2xy\right]\\ &=&2\pi\left(\frac{-x^3+2xy^2}{y}\right)=\frac{2\pi x}{y}(2y^2-x^2) \end{eqnarray*}$$
令上式等于零得到
$$2y^2=x^2\quad or\quad \frac{y}{x}=\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{2}$$

例3：一束光从点$A$入射到平面镜上的一点$P$，反射到达点$B$，如图3，准确测量得出入射光线和出射光线与镜子的夹角相当$\alpha=\beta$。假设光线从$A$经过镜子的反射到$B$的路径是最短的，证明当$\alpha=\beta$时，路径就是最短的。

图3

解：将点 $P$看做镜面上可变化的点，每个位置用$x$ 表示，那么我们希望路径 $L$可以表示成$x$的函数。从图中可以明显得出
$$\begin{eqnarray*} L &=&\sqrt{a^2+x^2}+\sqrt{b^2+(c-x)^2}\\ &=&(a^2+x^2)^{1/2}+[b^2+(c-x)^2]^{1/2} \end{eqnarray*}$$
求导得
$$\begin{align} \frac{dL}{dx} &=\frac{1}{2}(a^2+x^2)^{-1/2}\cdot(2x)+\frac{1}{2}[b^2+(c-x)^2]^{-1/2}\cdot2(c-x)\cdot(-1)\\ &=\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}-\frac{c-x}{\sqrt{b^2+(c-x)^2}}\tag7 \end{align}$$
为了最小化 $L$，令上式等于零得
$$\begin{equation} \frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}=\frac{c-x}{\sqrt{b^2+(c-x)^2}}\tag8 \end{equation}$$
变换一下等式的形式
$$\begin{eqnarray*} &\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{x}=\frac{\sqrt{b^2+(c-x)^2}}{c-x},\quad \sqrt{\left(\frac{a}{x}\right)^2+1}=\sqrt{\left(\frac{b}{c-x}\right)^2+1}\\ &\frac{a}{x}=\frac{b}{c-x} \end{eqnarray*}$$
最后的等式可以轻松的解出 $x$。然而，没必要这么做，因为最后比值的形式已经告诉了我们想要的：对于两个直角三角形中的角$\alpha,\beta$，对边比邻边相等，所以两角相等。

直观上看，很明显，我们可以最小化$L$。如果想用二阶导来证实，利用(7)式计算二阶导

$$\frac{d^2L}{dx^2}=\frac{a^2}{(a^2+x^2)^{3/2}}+\frac{b^2}{[b^2+(c-x)^2]^{3/2}}$$
(我们跳过了具体计算细节)，注意到这个值是正的。

注解1：回顾一下一个锐角$A$余弦的定义。如果我们将$A$看作直角三角形(图4)锐角中的一个，那么根据定理

$$\cos A=\frac{b}{c}=\frac{adjacent\ side}{hypotenuse}$$
利用此定义，最小化(8)可以重新写为
$$\cos \alpha=\cos\beta$$
所以 $\alpha=\beta$。在回顾一下正弦的定义
$$\sin A=\frac{a}{c}=\frac{opposite\ side}{hypotenuse}$$

图4}

注解2：例3讨论的反射定律在古希腊时期就存在了。然而，反射光线遵从最短路径这个事实却是很晚之后才被发现，发现者是公元一世纪亚历山大时期的 $Heron$，他的几何证明简单而巧妙。论述如下： $A,B$两点的位置跟之前一样(如图5)， $B'$是 $B$的镜像，这样的话镜面就是$BB'$的垂直平分线。 $AB'$与镜面交于点 $P$，也就是光线入射的位置，因为$\alpha=\gamma,\gamma=\beta$，所以 $\alpha=\beta$。路径的长度为 $AP+PB=AP+PB'=AB'$。对于镜面上的其他位置 $P'$，总长度为 $AP'+P'B=AP'+P'B'$，它比 $AB'$大，因为三角形任意两边之和大于第三边。这说明光的反射路径是最短的。


图5

例4：前面讨论的反射光线都是以恒定的速度在单一介质中传播。然而，在不同的介质(水，空气，玻璃)中，光的传播速度不一样。如果光线是从空气进入到水中，如图6，它朝与水面垂直的方向折射(弯曲)。路径 $APB$明显不是最短路径。那么它由什么定律确定呢？在1621 年，荷兰科学家 $Snell$发现光线的路径满足
$$\begin{equation} \frac{\sin \alpha}{\sin\beta}=a\ constant\tag9 \end{equation}$$
常数与 $A,B$的位置无关。这个事实叫做 $Snell$折射定律。可以通过最小化光线的传播时间来证明它。


图6

解：如果空气中光的速度为 $v_a$，水中速度为 $v_w$，那么总时间 $T$为
$$\begin{eqnarray*} T &=&\frac{\sqrt{a^2+x^2}}{v_a}+\frac{\sqrt{b^2+(c-x)^2}}{v_w}\\ &=&\frac{1}{v_a}(a^2+x^2)^{1/2}+\frac{1}{v_w}[b^2+(c-x)^2]^{1/2} \end{eqnarray*}$$
如果计算这个函数的导数，那么
$$\begin{align} \frac{dT}{dx} &=\frac{1}{v_a}\frac{x}{\sqrt{a^2+x^2}}-\frac{1}{v_w}\frac{c-x}{\sqrt{b^2+(c-x)^2}}\\ &=\frac{\sin \alpha}{v_a}-\frac{\sin \beta}{v_w}\tag10 \end{align}$$
现在最小化 $T$，结果为
$$\begin{equation} \frac{\sin \alpha}{v_a}=\frac{\sin \beta}{v_w}\quad or\quad \frac{\sin \alpha}{\sin \beta}=\frac{v_a}{v_w}\tag11 \end{equation}$$
这是 $Snell$定律的显示表达，因为它告诉我们等式(9)右边常数的物理含义：光在空气中的速度与水中速度之比。这个常数叫做折射率。如果水用其他介质代替，例如酒精、甘油或玻璃，那么会得到不同的数值。

在例3中，我们可以计算二阶导为正值来证实(11)存在最小值$T$：

$$\frac{d^2T}{dx^2}=\frac{1}{v_a}\frac{a^2}{(x^2+x^2)^{3/2}}+\frac{1}{v_w}\frac{b^2}{[b^2+(c-x)^2]^{3/2}}>0$$
但是有必要提一下另一种方法。首先观察可得(10)式给出的$dT/dx$有两项。当$x$从$0$增加到$c$时，第一项($\sin\alpha/v_a$)从$0$增加到某个正值。第二项($\sin\beta/v_w$)从某个正值减小到$0$。这表明$dT/dx$在$x=0$处为负值，增加到$x=c$的一个正值。所以$T$的最小值只存在一个，精确的值可由(11)得到。

注解3：例4的想法是费马在1657年发现的，为此光在光学系统中总是沿最短时间路径传播这个命题叫做费马最短时间原则。(应该注意到，当光在同一均匀介质中传播时，最短路径等价于最短时间)在他之后的两个世纪，费马的想法催生出了许多理论，最大最小原理，欧拉微积分变分法的创立，哈密尔顿的最小行动原则，它是物理学中最统一($deepest\ unifying$)的原则之一。欧拉有句令人难忘的话：

Since the fabric of the world is the most perfect and was established by the wisest Creator,nothing happens in this world in which some reason of maximum or minimum would not come to light.

注解4：$Snell$的正弦定律(9)由笛卡尔在1637年发表(其中没有提及$Snell$)，他本意是想用等式

$$\frac{\sin\alpha}{\sin\beta}=\frac{v_w}{v_a}$$
证明它。笛卡尔将他的论点建立在奇特的模型上，根据他的观点，光在高密度的介质中传播速度更快。费马拒绝他的观点(违背常识)。多年来笛卡尔只得被动接受费马的看法但是一直持怀疑态度，直到1657年他证明他的结论是对的，并且伴随着创造出了微积分方法。