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求矩阵的高次幂_最小多项式求矩阵高次幂
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Cayley-Hamilton定理说明，对于任意一个 n n n阶矩阵 A A A，一定存在着多项式 φ ( λ ) \varphi(\lambda) φ(λ)，使得 φ ( A ) = 0 \varphi(A)=0 φ(A)=0。
例1
设 A = [ − 3 4 − 3 5 ] A=[−34−35] A=[−3−345]，求 A 1000 A^{1000} A1000。
解答：
（1）求解矩阵
A
A
A的特征值，
∣
A
−
λ
I
∣
=
∣
−
3
−
λ
4
−
3
5
−
λ
∣
=
(
λ
−
3
)
(
λ
+
1
)
\lvert A-\lambda I \rvert=|−3−λ4−35−λ|=(\lambda-3)(\lambda+1)
∣A−λI∣=∣∣∣∣−3−λ−345−λ∣∣∣∣=(λ−3)(λ+1)
解得
λ
1
=
3
,
λ
2
=
−
1
\lambda_1=3,\lambda_2=-1
λ1=3,λ2=−1。
（2）根据Cayley-Hamilton定理可知，
A
1000
=
P
(
A
)
+
a
A
+
b
I
A^{1000}=P(A)+aA+bI
A1000=P(A)+aA+bI
λ
1000
=
P
(
λ
)
+
a
λ
+
b
(1)
\lambda^{1000}=P(\lambda)+a\lambda+b \tag{1}
λ1000=P(λ)+aλ+b(1)
（3）将
λ
1
=
3
\lambda_1=3
λ1=3代入公式（1）可得，
3
a
+
b
=
3
1000
(2)
3a+b=3^{1000} \tag{2}
3a+b=31000(2)
将
λ
2
=
−
1
\lambda_2=-1
λ2=−1代入公式（2）可得，
−
a
+
b
=
1
(3)
-a+b=1 \tag{3}
−a+b=1(3)
（4）联立公式（2）和公式（3）可解得，
a
=
1
4
⋅
3
1000
−
1
4
a=\frac{1}{4}\cdot 3^{1000}-\frac{1}{4}
a=41⋅31000−41
b
=
1
4
⋅
3
1000
+
3
4
b=\frac{1}{4}\cdot3^{1000}+\frac{3}{4}
b=41⋅31000+43
故，
A
1000
=
a
A
+
b
I
=
[
−
1
2
⋅
3
1000
+
3
2
3
1000
−
1
−
3
4
⋅
3
1000
+
3
4
3
2
⋅
3
1000
−
1
2
]
A^{1000} = aA+bI=[−12⋅31000+3231000−1−34⋅31000+3432⋅31000−12]
A1000=aA+bI=[−21⋅31000+23−43⋅31000+4331000−123⋅31000−21]
例2
设
A
=
[
2
−
1
−
1
0
−
2
0
4
−
1
−
3
]
A = [2−1−10−204−1−3]
A=⎣⎡204−1−2−1−10−3⎦⎤，求
A
20
A^{20}
A20。
解答：
（1）求解矩阵
A
A
A的特征值，
∣
A
−
λ
I
∣
=
∣
2
−
λ
−
1
−
1
0
−
2
−
λ
0
4
−
1
−
3
−
λ
∣
=
−
(
λ
+
2
)
2
(
λ
−
1
)
\lvert A -\lambda I \rvert =|2−λ−1−10−2−λ04−1−3−λ| = -(\lambda+2)^2(\lambda-1)
∣A−λI∣=∣∣∣∣∣∣2−λ04−1−2−λ−1−10−3−λ∣∣∣∣∣∣=−(λ+2)2(λ−1)
解答
λ
1
=
1
,
λ
2
=
λ
3
=
−
2
\lambda_1=1,\lambda_2=\lambda_3=-2
λ1=1,λ2=λ3=−2。
（2）根据Cayley-Hamilton定理可知，
A
20
=
P
(
A
)
+
a
A
2
+
b
A
+
c
I
A^{20}=P(A)+aA^2+bA+cI
A20=P(A)+aA2+bA+cI
λ
20
=
P
(
λ
)
+
a
λ
2
+
b
λ
+
c
(1)
\lambda^{20}=P(\lambda)+a\lambda^2+b\lambda+c \tag{1}
λ20=P(λ)+aλ2+bλ+c(1)
（3）将
λ
1
=
1
\lambda_1=1
λ1=1代入公式（1）可得，
a
+
b
+
c
=
1
(2)
a+b+c=1 \tag{2}
a+b+c=1(2)
注意：P(1) = 0。
将
λ
2
=
−
2
\lambda_2=-2
λ2=−2代入公式（1）可得，
4
a
−
2
b
+
c
=
(
−
2
)
20
(3)
4a-2b+c=(-2)^{20} \tag{3}
4a−2b+c=(−2)20(3)
考虑到-2是矩阵
A
A
A的二重特征值，那么当
λ
=
−
2
\lambda=-2
λ=−2时，有下式成立，
20
λ
19
=
P
′
(
λ
)
+
2
a
λ
+
b
20\lambda^{19}=P'(\lambda)+2a\lambda+b
20λ19=P′(λ)+2aλ+b
即，
−
4
a
+
b
=
20
(
−
2
)
19
(4)
-4a+b=20(-2)^{19} \tag{4}
−4a+b=20(−2)19(4)
（4）联立公式(2)~(4)可解得，
a
=
29
9
⋅
2
20
+
1
9
a = \frac{29}{9}\cdot2^{20}+\frac{1}{9}
a=929⋅220+91
b
=
26
9
⋅
2
20
+
4
9
b = \frac{26}{9}\cdot 2^{20} +\frac{4}{9}
b=926⋅220+94
c
=
−
55
9
⋅
2
20
+
4
9
c=-\frac{55}{9}\cdot2^{20}+\frac{4}{9}
c=−955⋅220+94
故，
A
20
=
a
A
2
+
b
A
+
c
I
A^{20}=aA^2+bA+cI
A20=aA2+bA+cI
