背包问题(01背包、完全背包、多重背包)详解（超详细！！！），及题目代码和题意，包含6个例题。

第一题：01背包问题

01背包问题

时间限制：1秒        内存限制：128M

题目描述

一个旅行者有一个最多能装 M 公斤的背包，现在有 n 件物品，它们的重量分别是 W1，W2，...,Wn ,它们的价值分别为 C1 , C2 ,..., Cn ，求旅行者能获得最大总价值。

输入描述

第一行：两个整数，M (背包容量，M≤200 )和 N (物品数量， N≤30 )；
第 2..N+1 行：每行二个整数 Wi，Ci ，表示每个物品的重量和价值。

输出描述

仅一行，一个数，表示最大总价值。

样例

输入

10 4
2 1
3 3
4 5
7 9

输出

12

重要信息筛选

最多能装 M 公斤的背包，现在有 n 件物品，它们的重量分别是 W1，W2，...,Wn ,它们的价值分别为 C1 , C2 ,..., Cn ，求最大总价值。

思路：

对于每个物品有两个选择，放入或者不放，有 n 个物品，所以要做出 n 个选择，可以视为 n个状态阶段。
用 f[n][m]表示有 n 个物品时，放入容量为 m 的背包所能获得的最大价值。样例要求的就是 f[4][10]。
包容量为 10，考虑第 4 个物品（重量为 2，价值为 1），分两种情况：
1）放入第 4 个物品
对应的背包价值为前 3 个物品放在容量为（10-2）的包里的最大价值+第 4 个物品的价值。
f[4][10]=f[3][10-2]+1=f[3][8]+1
f[3][8]代表什么含义呢？
 -有前 3 个物品时，放入容量为 8 的背包所能获得的最大价值
 -考虑第 3 个物品，同样分为两种情况
a.f[3][8]=f[2][4]+5
b.f[3][8]=f[2][8]
2）不放入第 4 个物品
对应的背包价值和前 3 个物品放在容量为 10 的包里的价值一样。 f[4][10]=f[3][10]
1 和 2 两种情况哪个的背包价值更大，f[4][10]就是哪个值。

用 f[i][j]表示背包中有 i 个物品，重量为 j 时的价值情况，如下图所示：

以 f[2][8]为例， f[2][8]=max(f[1][8-3]+3,f[1][8])
 = max(f[1][5]+3,f[1][8])

求 f[2][8]的值时，只需要知道 f[1][8]左侧部分的数据即可。

其实把它优化成一维的，也是可行的，因为不用i-1,直接每次求最大值。此时状态转移方程变成这样:

此时，代码主体框架已经完成，完成输入输出即可

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[10000005],w[10005],c[10005];//定义 
int main(){
    int n,m,cnt=0;
    scanf("%d%d",&m,&n);//输入最大容量和数量 
    for(int i=1; i<=n; i++){
    	cin>>w[i]>>c[i];//输入重量和 
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){//枚举所有物品
	    for(int j=m;j>=w[i];j--){//枚举从最大容量到当前物品重量
	        dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+c[i]);//dp[当前容量]=max(dp[当前容量],dp[当前容量-当前物品重量]+当前物品价值);
	    }
	}
    printf("%d",dp[m]);//输出 
    return 0;
}

第二题：采药

采药

时间限制：1秒        内存限制：128M

题目描述

辰辰是个很有潜能、天资聪颖的孩子，他的梦想是成为世界上最伟大的医师。为此，他想拜附近最有威望的医师为师。医师为了判断他的资质，给他出了一个难题。医师把他带到个到处都是草药的山洞里对他说：“孩子，这个山洞里有一些不同的草药，采每一株都需要一些时间，每一株也有它自身的价值。我会给你一段时间，在这段时间里，你可以采到一些草药。如果你是一个聪明的孩子，你应该可以让采到的草药的总价值最大。

如果你是辰辰，你能完成这个任务吗？

输入描述

输入的第一行有两个整数T（1≤T≤1000）和M（1≤M≤100），T代表总共能够用来采药的时间，M代表山洞里的草药的数目。接下来的M行每行包括两个在1到100之间（包括1和100）的的整数，分别表示采摘某株草药的时间和这株草药的价值。

输出描述

输出只包括一行，这一行只包含一个整数，表示在规定的时间内，可以采到的草药的最大总价值。

样例

输入

70 3
71 100
69 1
1 2

输出

3

思路：

转化为T为背包容量，M为物品数量，采药时间看成重量，采药价值看成价值，再套用01背包完成此问题。

 对于每个物品有两个选择，放入或者不放，有 n 个物品，所以要做出 n 个选择，可以视为 n个状态阶段。
用 f[n][m]表示有 n 个物品时，放入容量为 m 的背包所能获得的最大价值。样例要求的就是 f[4][10]。
包容量为 10，考虑第 4 个物品（重量为 2，价值为 1），分两种情况：
1）放入第 4 个物品
对应的背包价值为前 3 个物品放在容量为（10-2）的包里的最大价值+第 4 个物品的价值。
f[4][10]=f[3][10-2]+1=f[3][8]+1
f[3][8]代表什么含义呢？
 -有前 3 个物品时，放入容量为 8 的背包所能获得的最大价值
 -考虑第 3 个物品，同样分为两种情况
a.f[3][8]=f[2][4]+5
b.f[3][8]=f[2][8]
2）不放入第 4 个物品
对应的背包价值和前 3 个物品放在容量为 10 的包里的价值一样。 f[4][10]=f[3][10]
1 和 2 两种情况哪个的背包价值更大，f[4][10]就是哪个值。

用 f[i][j]表示背包中有 i 个物品，重量为 j 时的价值情况，如下图所示：

以 f[2][8]为例， f[2][8]=max(f[1][8-3]+3,f[1][8])
 = max(f[1][5]+3,f[1][8])

求 f[2][8]的值时，只需要知道 f[1][8]左侧部分的数据即可。

其实把它优化成一维的，也是可行的，因为不用i-1,直接每次求最大值。此时状态转移方程变成这样:

此时，代码主体框架已经完成，完成输入输出即可

AC代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int dp[10000005],w[10005],c[10005];//定义 
int main(){
    int n,m,cnt=0;
    scanf("%d%d",&m,&n);//输入最大容量和数量 
    for(int i=1; i<=n; i++){
    	cin>>w[i]>>c[i];//输入重量和 
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){//枚举所有物品
	    for(int j=m;j>=w[i];j--){//枚举从最大容量到当前物品重量
	        dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+c[i]);//dp[当前容量]=max(dp[当前容量],dp[当前容量-当前物品重量]+当前物品价值);
	    }
	}
    printf("%d",dp[m]);//输出 
    return 0;
}

第三题：数字组合

数字组合

时间限制：1秒        内存限制：128M

题目描述

在N个数中找出其和为M的若干个数。先读入正整数N（1< N< 100）和M(1< M< 10000)，再读入N个正数（可以有相同的数字，每个数字均在1000以内），在这N个数中找出若干个数，使它们的和是M，把满足条件的数字组合都找出来以统计组合的个数，输出组合的个数（不考虑组合是否相同）。要求你的程序运行时间不超过1秒。

输入描述

第一行是两个数字，表示N和M。 第二行起是N个数。

输出描述

就一个数字，表示和为M的组合的个数。

样例

输入

4 4
1 1 2 2

输出

3

思路：

这是典型的 0/1 背包模型，n 个正整数就是 n 个物品，t 就是背包的容积。
在外层循环到 i 时（表示从前 i 个数中选），设 f[j]表示“和为 j”有多少种方案。在具体实现中，只需要把上面代码中求 max 的函数改为求和即可。

这边为大家奉上代码

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main(){
	int n,m,a[10005],f[10005];
	cin>>n>>m;
	for(int i=1; i<=n; i++) cin>>a[i];
	f[0]=1;
	for(int i=1; i<=n; i++){
		for(int j=m; j>=a[i]; --j){
			f[j]+=f[j-a[i]];
		}
	}
	cout<<f[m]<<endl;
    return 0;
}

第四题：完全背包问题

完全背包问题

时间限制：1秒        内存限制：128M

题目描述

设有n种物品，每种物品有一个重量及一个价值。但每种物品的数量是无限的，同时有一个背包，最大载重量为M，今从n种物品中选取若干件(同一种物品可以多次选取)，使其重量的和小于等于M，而价值的和为最大。

输入描述

第一行：两个整数，M(背包容量，M≤200)和N(物品数量，N≤30)； 

第2..N+1行：每行二个整数Wi,Ci，表示每个物品的重量和价值。

输出描述

仅一行，一个数，表示最大总价值。

样例

输入

10 4
2 1
3 3
4 5
7 9

输出

max=12

思路：

状态为 f[x]，表示包容量为 x 时获得的最大价值
放入的最后一个物品可能是重量小于 x 的任何一个，选最大的那个
f[12]，包容量为 12 时获得的最大价值
只考虑最后一个物品，分四种情况
1）最后一个是物品①（重量为 2，价值为 1）
f[12]=f[12-2]+1=f[10]+1
2）最后一个是物品②（重量为 3，价值为 3）
f[12]=f[12-3]+3=f[9]+3
3）最后一个是物品③（重量为 4，价值为 5）
f[12]=f[12-4]+5=f[8]+5
4）最后一个是物品④（重量为 7，价值为 9）
f[12]=f[12-7]+9=f[5]+9
找四种情况里最大的那个
f[5]，包容量为 5 时获得的最大价值
只考虑最后一个物品，分三种情况
1）最后一个是物品①（重量为 2，价值为 1）
f[5]=f[5-2]+1=f[3]+1
2）最后一个是物品②（重量为 3，价值为 3）
f[5]=f[5-3]+3=f[2]+3
3）最后一个是物品③（重量为 4，价值为 5）
f[5]=f[5-4]+5=f[1]+5
4）最后一个可能是物品④（重量为 7，价值为 9）吗？

所以，根据思路，即可写出代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[10000005],w[10005],c[10005];
int main(){
    int n,m,cnt=0;
    scanf("%d%d",&m,&n);
    for(int i=1; i<=n; i++){
    	cin>>w[i]>>c[i];
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
	    for(int j=w[i];j<=m;j++){//01背包是从m到w[i],完全背包是w[i]到m
	        f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);
	    }
	}
    printf("max=%d",f[m]);
    return 0;
}

第五题：多重背包

多重背包

时间限制：1秒        内存限制：128M

题目描述

现有N种（N<=10）魔法石和一个容量为V（0<V<200)的背包。第i种魔法石最多有n[i]件可用，每个占用的空间是c[i]，价值是w[i]。全部物品总数不超过50.求解将哪些魔法石装入背包可使这些物品的容量总和不超过背包容量，且价值总和最大

输入描述

第一行为两个数字，即V和N。以下N行为每种物品的空间，价值和数量

输出描述

最大价值总和

样例

输入

8 2
2 100 4
4 100 2

输出

400

对于每个物品有 ？个选择
用 f[n][m]表示有 n 个物品时，放入容量为 m 的背包所能获得的最大价值。样例要求的就是 f[2][8]。
包容量为 8，考虑物品②（空间为 4，价值为 100，总量为 2），分 3 种情况1）放入 0 个物品②
f[2][8]=f[1][8]
2）放入 1 个物品②
f[2][8]=f[1][8-4]+100=f[1][4]+100
2）放入 2 个物品②
f[2][8]=f[1][8-4*2]+100*2=f[1][0]+200

3 种情况哪个的背包价值更大，f[2][8]就是哪个值。

也可以用一维数组进行优化
程序：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int f[40005];
int main(){
    int n,m;
    scanf("%d%d",&n,&m);
    int c[2005],w[2005],s[2005];
    for(int i=1; i<=n; i++){
        scanf("%d%d%d",w+i,c+i,s+i);
    }
    for(int i=1;i<=n;i++){
	    for(int k=1;k<=s[i];k++){   
	         for(int j=m;j>=w[i];j--){
	              f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i]);
	         }
	    }
	} 
    printf("%d",f[m]);
    return 0;
}

第六题：买书

买书

时间限制：1秒        内存限制：128M

题目描述

小明手里有n元钱全部用来买书，书的价格为10元，20元，50元，100元。 

问小明有多少种买书方案？（每种书可购买多本）

输入描述

一个整数 n，代表总共钱数。（0 <= n <= 1000）

输出描述

一个整数，代表选择方案种数

样例

输入

20

输出

2

题目分析：

现在有四种类型的书，可以类比成四种物品，重量就是书的价格，可以用完全背包的方法来
求解，但是本题目不是求最大价值，而是求方案数。完全背包问题求解方案数把 max 修改成 sum 就可以了
f[i][j]表示前 i 件物品放到背包容量为 j 的背包的方案数
状态转移方程：
f[i][j] += f[i-1][j-w[i]]

初始化为：f[0][0] = 1
也可以用一维优化
f[i]表示放到背包容量为 i 的背包里面总共有多少种方案
状态转移方程：
f[j] += f[j - a[i]];

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a[]={0,10,20,50,100};
int f[20000005];
int main(){
	int n;
	cin>>n;
	f[0]=1;
	for(int i=1; i<=4; i++){
		for(int j=a[i]; j<=n; ++j){
			f[j]+=f[j-a[i]];
		}
	}
	cout<<f[n]<<endl;
    return 0;
}

总结：背包问题真难啊

往期回顾：

可达鸭二月月赛——入门赛第四场T1题解

可达鸭二月月赛——入门赛第四场T2题解

可达鸭二月月赛——入门赛第四场T3题解

可达鸭二月月赛——入门赛第四场T4题解

可达鸭二月月赛——入门赛第四场（周三）题解

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