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CRC(Cyclic Redundancy Check)被广泛用于数据通信过程中的差错检测,具有很强的
检错能力。本文详细介绍了CRC的基本原理,并且按照解释通行的查表算法的由来的思路介绍
了各种具体的实现方法。
1.差错检测
数据通信中,接收端需要检测在传输过程中是否发生差错,常用的技术有奇偶校验(Parity
Check),校验和(Checksum)和CRC(Cyclic Redundancy Check)。它们都是发送端对消息按照
某种算法计算出校验码,然后将校验码和消息一起发送到接收端。接收端对接收到的消息按
照相同算法得出校验码,再与接收到的校验码比较,以判断接收到消息是否正确。
奇偶校验只需要1位校验码,其计算方法也很简单。以奇检验为例,发送端只需要对所有消息
位进行异或运算,得出的值如果是0,则校验码为1,否则为0。接收端可以对消息进行相同计
算,然后比较校验码。也可以对消息连同校验码一起计算,若值是0则有差错,否则校验通过。
通常说奇偶校验可以检测出1位差错,实际上它可以检测出任何奇数位差错。
校验和的思想也很简单,将传输的消息当成8位(或16/32位)整数的序列,将这些整数加起来
而得出校验码,该校验码也叫校验和。校验和被用在IP协议中,按照16位整数运算,而且其
MSB(Most Significant Bit)的进位被加到结果中。
显然,奇偶校验和校验和都有明显的不足。奇偶校验不能检测出偶数位差错。对于校验和,
如果整数序列中有两个整数出错,一个增加了一定的值,另一个减小了相同的值,这种差错
就检测不出来。
2.CRC算法的基本原理
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CRC算法的是以GF(2)(2元素伽罗瓦域)多项式算术为数学基础的,听起来很恐怖,但实际上它
的主要特点和运算规则是很好理解的。
GF(2)多项式中只有一个变量x,其系数也只有0和1,如:
即:
(x^n表示x的n次幂)
GF(2)多项式中的加减用模2算术执行对应项上系数的加减,模2就是加减时不考虑进位和借位,
即:
显然,加和减是一样的效果(故在GF(2)多项式中一般不出现"-"号),都等同于异或运算。例
如P1 = x^3
GF(2)多项式乘法和一般多项式乘法基本一样,只是在各项相加的时候按模2算术进行,例如
P1 * P2为:
GF(2)多项式除法也和一般多项式除法基本一样,只是在各项相减的时候按模2算术进行,例
如P3 = x^7 + x^6 + x^5 + x^2 + x,P3 / P2为:
CRC算法将长度为m位的消息对应一个GF(2)多项式M,比如对于8位消息11100110,如果先传输
MSB,则它对应的多项式为x^7 + x^6 + x^5 + x^2 + x。发送端和接收端约定一个次数为r的
GF(2)多项式G,称为生成多项式,比如x^3 + x + 1,r = 3。在消息后面加上r个0对应的多
项式为M',显然有M' = Mx^r。用M'除以G将得到一个次数等于或小于r - 1的余数多项式R,
其对应的r位数值则为校验码。如下所示:
发送端将m位消息连同r位校验码(也就是M' + R)一起发送出去,接收端按同样的方法算出收
到的m位消息的校验码,再与收到的校验码比较。接收端也可以用收到的全部m + r位除以生
成多项式,再判断余数是否为0。这是因为,M' + R = (QG + R) + R = QG,这里Q是商。显
然,它也可以像发送端一样,在全部m + r后再增加r个0,再除以生成多项式,如果没有差错
发生,余数仍然为0。
3.生成多项式的选择
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很明显,不同的生成多项式,其检错能力是不同的。如何选择一个好的生成多项式需要一定
的数学理论,这里只从一些侧面作些分析。显然,要使用r位校验码,生成多项式的次数应为
r。生成多项式应该包含项"1",否则校验码的LSB(Least Significant Bit)将始终为0。如果
消息(包括校验码)T在传输过程中产生了差错,则接收端收到的消息可以表示为T + E。若E不
能被生成多项式G除尽,则该差错可以被检测出。考虑以下几种情况:
以下是一些标准的CRC算法的生成多项式:
16进制表示去掉了最高次项,CCITT在1993年改名为ITU-T。CRC12用于6位字节,其它用于8位
字节。CRC16在IBM的BISYNCH通信标准。CRC16-CCITT被广泛用于XMODEM, X.25和SDLC等通信
协议。而以太网和FDDI则使用CRC32,它也被用在ZIP,RAR等文件压缩中。在这些生成多项式
中,CRC32是原始的,而其它3个都含有因子x + 1。
4.CRC算法的实现
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要用程序实现CRC算法,考虑对第2节的长除法做一下变换,依然是M = 11100110,G = 1011,
其系数r为3
程序可以如下实现:
用CRC16-CCITT的生成多项式0x1021,其C代码(本文所有代码假定系统为32位,且都在VC6上
编译通过)如下:
显然,每次内循环的行为取决于寄存器首位。由于异或运算满足交换率和结合律,以及与0异
unsigned short do_crc(unsigned char *message, unsigned int len) { int i, j; unsigned short crc_reg; crc_reg = (message[0] << 8) + message[1]; for (i = 0; i < len; i++) { if (i < len - 2) for (j = 0; j <= 7; j++) { if ((short)crc_reg < 0) crc_reg = ((crc_reg << 1) + (message[i + 2] >> (7 - i))) ^ 0x1021; else crc_reg = (crc_reg << 1) + (message[i + 2] >> (7 - i)); } else for (j = 0; j <= 7; j++) { if ((short)crc_reg < 0) crc_reg = (crc_reg << 1) ^ 0x1021; else crc_reg <<= 1; } } return crc_reg; }
或无影响,消息可以不移入寄存器,而在每次内循环的时候,寄存器首位再与对应的消息位
异或。改进的代码如下:
unsigned short do_crc(unsigned char *message, unsigned int len) { int i, j; unsigned short crc_reg = 0; unsigned short current; for (i = 0; i < len; i++) { current = message[i] << 8; for (j = 0; j < 8; j++) { if ((short)(crc_reg ^ current) < 0) crc_reg = (crc_reg << 1) ^ 0x1021; else crc_reg <<= 1; current <<= 1; } } return crc_reg; }
以上的讨论中,消息的每个字节都是先传输MSB,CRC16-CCITT标准却是按照先传输LSB,消息
右移进寄存器来计算的。只需将代码改成判断寄存器的LSB,将0x1021按位颠倒后(0x8408)与
寄存器异或即可,如下所示:
unsigned short do_crc(unsigned char *message, unsigned int len) { int i, j; unsigned short crc_reg = 0; unsigned short current; for (i = 0; i < len; i++) { current = message[i]; for (j = 0; j < 8; j++) { if ((crc_reg ^ current) & 0x0001) crc_reg = (crc_reg >> 1) ^ 0x8408; else crc_reg >>= 1; current >>= 1; } } return crc_reg; }
该算法使用了两层循环,对消息逐位进行处理,这样效率是很低的。为了提高时间效率,通
常的思想是以空间换时间。考虑到内循环只与当前的消息字节和crc_reg的低字节有关,对该
算法做以下等效转换:
unsigned short do_crc(unsigned char *message, unsigned int len) { int i, j; unsigned short crc_reg = 0; unsigned char index; unsigned short to_xor; for (i = 0; i < len; i++) { index = (crc_reg ^ message[i]) & 0xff; to_xor = index; for (j = 0; j < 8; j++) { if (to_xor & 0x0001) to_xor = (to_xor >> 1) ^ 0x8408; else to_xor >>= 1; } crc_reg = (crc_reg >> 8) ^ to_xor; } return crc_reg; }
to_xor = crc16_ccitt_table[index],于是可以简化为:
unsigned short do_crc(unsigned char *message, unsigned int len) { unsigned short crc_reg = 0; while (len--) crc_reg = (crc_reg >> 8) ^ crc16_ccitt_table[(crc_reg ^ *message++) & 0xff]; return crc_reg; } crc16_ccitt_table通过以下代码生成: int main() { unsigned char index = 0; unsigned short to_xor; int i; printf("unsigned short crc16_ccitt_table[256] =n{"); while (1) { if (!(index % 8)) printf("n"); to_xor = index; for (i = 0; i < 8; i++) { if (to_xor & 0x0001) to_xor = (to_xor >> 1) ^ 0x8408; else to_xor >>= 1; } printf("0xx", to_xor); if (index == 255) { printf("n"); break; } else { printf(", "); index++; } } printf("};"); return 0; }
生成的表如下:
unsigned short crc16_ccitt_table[256] = { 0x0000, 0x1189, 0x2312, 0x329b, 0x4624, 0x57ad, 0x6536, 0x74bf, 0x8c48, 0x9dc1, 0xaf5a, 0xbed3, 0xca6c, 0xdbe5, 0xe97e, 0xf8f7, 0x1081, 0x0108, 0x3393, 0x221a, 0x56a5, 0x472c, 0x75b7, 0x643e, 0x9cc9, 0x8d40, 0xbfdb, 0xae52, 0xdaed, 0xcb64, 0xf9ff, 0xe876, 0x2102, 0x308b, 0x0210, 0x1399, 0x6726, 0x76af, 0x4434, 0x55bd, 0xad4a, 0xbcc3, 0x8e58, 0x9fd1, 0xeb6e, 0xfae7, 0xc87c, 0xd9f5, 0x3183, 0x200a, 0x1291, 0x0318, 0x77a7, 0x662e, 0x54b5, 0x453c, 0xbdcb, 0xac42, 0x9ed9, 0x8f50, 0xfbef, 0xea66, 0xd8fd, 0xc974, 0x4204, 0x538d, 0x6116, 0x709f, 0x0420, 0x15a9, 0x2732, 0x36bb, 0xce4c, 0xdfc5, 0xed5e, 0xfcd7, 0x8868, 0x99e1, 0xab7a, 0xbaf3, 0x5285, 0x430c, 0x7197, 0x601e, 0x14a1, 0x0528, 0x37b3, 0x263a, 0xdecd, 0xcf44, 0xfddf, 0xec56, 0x98e9, 0x8960, 0xbbfb, 0xaa72, 0x6306, 0x728f, 0x4014, 0x519d, 0x2522, 0x34ab, 0x0630, 0x17b9, 0xef4e, 0xfec7, 0xcc5c, 0xddd5, 0xa96a, 0xb8e3, 0x8a78, 0x9bf1, 0x7387, 0x620e, 0x5095, 0x411c, 0x35a3, 0x242a, 0x16b1, 0x0738, 0xffcf, 0xee46, 0xdcdd, 0xcd54, 0xb9eb, 0xa862, 0x9af9, 0x8b70, 0x8408, 0x9581, 0xa71a, 0xb693, 0xc22c, 0xd3a5, 0xe13e, 0xf0b7, 0x0840, 0x19c9, 0x2b52, 0x3adb, 0x4e64, 0x5fed, 0x6d76, 0x7cff, 0x9489, 0x8500, 0xb79b, 0xa612, 0xd2ad, 0xc324, 0xf1bf, 0xe036, 0x18c1, 0x0948, 0x3bd3, 0x2a5a, 0x5ee5, 0x4f6c, 0x7df7, 0x6c7e, 0xa50a, 0xb483, 0x8618, 0x9791, 0xe32e, 0xf2a7, 0xc03c, 0xd1b5, 0x2942, 0x38cb, 0x0a50, 0x1bd9, 0x6f66, 0x7eef, 0x4c74, 0x5dfd, 0xb58b, 0xa402, 0x9699, 0x8710, 0xf3af, 0xe226, 0xd0bd, 0xc134, 0x39c3, 0x284a, 0x1ad1, 0x0b58, 0x7fe7, 0x6e6e, 0x5cf5, 0x4d7c, 0xc60c, 0xd785, 0xe51e, 0xf497, 0x8028, 0x91a1, 0xa33a, 0xb2b3, 0x4a44, 0x5bcd, 0x6956, 0x78df, 0x0c60, 0x1de9, 0x2f72, 0x3efb, 0xd68d, 0xc704, 0xf59f, 0xe416, 0x90a9, 0x8120, 0xb3bb, 0xa232, 0x5ac5, 0x4b4c, 0x79d7, 0x685e, 0x1ce1, 0x0d68, 0x3ff3, 0x2e7a, 0xe70e, 0xf687, 0xc41c, 0xd595, 0xa12a, 0xb0a3, 0x8238, 0x93b1, 0x6b46, 0x7acf, 0x4854, 0x59dd, 0x2d62, 0x3ceb, 0x0e70, 0x1ff9, 0xf78f, 0xe606, 0xd49d, 0xc514, 0xb1ab, 0xa022, 0x92b9, 0x8330, 0x7bc7, 0x6a4e, 0x58d5, 0x495c, 0x3de3, 0x2c6a, 0x1ef1, 0x0f78 };
并且按以下方式发送出去:
接收端对收到的len + 2字节执行do_crc,如果没有差错发生则结果应为0。
在一些传输协议中,发送端并不指出消息长度,而是采用结束标志,考虑以下几种差错:
显然,这几种差错都检测不出来,其原因就是如果寄存器值为0,处理0消息字节(或位),寄
存器值不变。为了解决前2个问题,只需寄存器的初值非0即可,对do_crc作以下改进:
- unsigned short do_crc(unsigned short reg_init, unsigned char *message, unsigned int len)
- {
- unsigned short crc_reg = reg_init;
-
- while (len--)
- crc_reg = (crc_reg >> 8) ^ crc16_ccitt_table[(crc_reg ^ *message++) & 0xff];
-
- return crc_reg;
- }
在CRC16-CCITT标准中reg_init = 0xffff,为了解决后2个问题,在CRC16-CCITT标准中将计
算出的校验码与0xffff进行异或,即:
显然,现在接收端对收到的所有字节执行do_crc,如果没有差错发生则结果应为某一常值
GOOD_CRC。其满足以下关系:
其结果为GOOD_CRC = 0xf0b8。
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