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Gerchberg-Saxton (GS) 算法是一种常用于相位恢复和光学成像的迭代算法。该算法最初由R.W. Gerchberg和W.O. Saxton于1972年提出 [1],主要用于从强度测量数据中恢复相位信息。以下是该算法的基本步骤:
输入:
输出:
初始化:
一般步骤 (第 i i i次迭代, i = 1 , 2 , … ) i=1,2,\ldots) i=1,2,…) :
对 z i [ n , m ] z_i[n,m] zi[n,m] 进行二维傅里叶变换,得到 Z i [ k , l ] Z_i[k,l] Zi[k,l]。
保持当前傅里叶相位不变,但施加频域幅度约束: Z i ′ [ k , l ] = ∣ X [ k , l ] ∣ ⋅ Z i [ k , l ] / ∣ Z i [ k , l ] ∣ Z_i^{\prime}[k,l]=|X[k,l]|\cdot Z_i[k,l]/|Z_i[k,l]| Zi′[k,l]=∣X[k,l]∣⋅Zi[k,l]/∣Zi[k,l]∣。
对 Z i ′ [ k , l ] Z_i^{\prime}[k,l] Zi′[k,l]进行二维逆傅里叶变换,得到 z i ′ [ n , m ] z_i^{\prime}[n,m] zi′[n,m]。
保持当前空间相位不变,但施加空间域幅度约束: z i + 1 [ n , m ] = ∣ x [ n , m ] ∣ ⋅ z i ′ [ n , m ] / ∣ z i ′ [ n , m ] ∣ 。 z_{i+1}[n,m]=|x[n,m]|\cdot z_i'[n,m]/|z_i'[n,m]|\text{。} zi+1[n,m]=∣x[n,m]∣⋅zi′[n,m]/∣zi′[n,m]∣。
回到步骤1。
终止条件:直到误差
E
i
=
∑
k
,
l
∥
∣
Z
i
[
k
,
l
]
∣
−
∣
X
[
k
,
l
]
∣
∥
2
≤
ϵ
E_i=\sum_{k,l}\left\|\left|Z_i[k,l]\right|-\left|X[k,l]\right|\right\|^2\leq\epsilon
Ei=k,l∑∥∣Zi[k,l]∣−∣X[k,l]∣∥2≤ϵ
混合输入输出(Hybrid Input-Output, HIO)算法是Gerchberg-Saxton (GS) 算法的一种改进版本,用于加快相位恢复的收敛速度,并解决GS算法容易陷入局部最优解的问题。HIO算法由Fienup于1982年提出 [2],通过在迭代过程中引入一种新颖的更新策略,改善了相位恢复的性能。
初始化:
频域迭代:
空间域更新:
收敛判断:
输入:
输出:
初始化:
一般步骤 (第 i i i次迭代, i = 1 , 2 , … ) : i=1,2,\ldots): i=1,2,…):
对 z i [ n , m ] z_i[n,m] zi[n,m]进行二维傅里叶变换,得到 Z i [ k , l ] Z_i[k,l] Zi[k,l]。
保持当前傅里叶相位不变,但施加频域幅度约束: Z i ′ [ k , l ] = ∣ X [ k , l ] ∣ ⋅ Z i [ k , l ] / ∣ Z i [ k , l ] ∣ Z_i^{\prime}[k,l]=|X[k,l]|\cdot Z_i[k,l]/|Z_i[k,l]| Zi′[k,l]=∣X[k,l]∣⋅Zi[k,l]/∣Zi[k,l]∣。
对 Z i ′ [ k , l ] Z_i^{\prime}[k,l] Zi′[k,l]进行二维逆傅里叶变换,得到 z i ′ [ n , m ] z_i^{\prime}[n,m] zi′[n,m]。
保持当前空间相位不变,但施加空间域幅度约束,且对不满足约束的区域进行反馈修正:
z
i
+
1
[
n
,
m
]
=
{
∣
x
[
n
,
m
]
∣
⋅
z
i
′
[
n
,
m
]
/
∣
z
i
′
[
n
,
m
]
∣
if
∣
x
[
n
,
m
]
∣
≠
0
z
i
[
n
,
m
]
−
β
z
i
′
[
n
,
m
]
if
∣
x
[
n
,
m
]
∣
=
0
z_{i+1}[n,m]=
回到步骤1。
终止条件:直到误差
E
i
=
∑
k
,
l
∥
∣
Z
i
[
k
,
l
]
∣
−
∣
X
[
k
,
l
]
∣
∥
2
≤
ϵ
E_i=\sum_{k,l}\||Z_i[k,l]|-|X[k,l]|\|^2\leq\epsilon
Ei=k,l∑∥∣Zi[k,l]∣−∣X[k,l]∣∥2≤ϵ
import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt from skimage.data import camera, checkerboard from skimage.transform import resize # 加载skimage库中的示例图像 amplitude_image = camera() phase_image = checkerboard() # 如果振幅图像和相位图像的大小不同,调整相位图像的大小 if amplitude_image.shape != phase_image.shape: phase_image = resize(phase_image, amplitude_image.shape, anti_aliasing=True) # 对振幅和相位图像进行填充 padding_width = 50 amplitude_image = np.pad(amplitude_image, pad_width=padding_width, mode='constant', constant_values=0) phase_image = np.pad(phase_image, pad_width=padding_width, mode='constant', constant_values=0) # 将图像归一化到[0, 1]范围内 amplitude_image = amplitude_image / np.max(amplitude_image) phase_image = phase_image / np.max(phase_image) # 生成复数对象 complex_obj = amplitude_image * np.exp(1j * phase_image) # 进行傅里叶变换 ft_obj = np.fft.fft2(complex_obj) abs_ft_obj = np.abs(ft_obj) # 初始化相位图像 initial_phase = np.angle(np.exp(1j * np.random.rand(*amplitude_image.shape))) # Gerchberg-Saxton (GS) 算法 def gerchberg_saxton(amplitude, initial_phase, num_iterations, epsilon): z = amplitude * np.exp(1j * initial_phase) errors = [] for i in range(num_iterations): # 正向傅里叶变换 Z = np.fft.fft2(z) # 计算误差并检查终止条件 error = np.sum((np.abs(Z) - abs_ft_obj) ** 2) errors.append(error) if error <= epsilon: print(f'GS algorithm converged after {i + 1} iterations with error {error:.6f}') break # 在傅里叶空间中施加振幅约束 Z = abs_ft_obj * Z / np.abs(Z) # 逆傅里叶变换 z_prime = np.fft.ifft2(Z) # 在实空间中施加振幅约束 z = amplitude * z_prime / np.abs(z_prime) final_phase = np.angle(z) return final_phase, errors # Hybrid Input-Output (HIO) 算法 def hio(amplitude, initial_phase, num_iterations, beta, epsilon): z = amplitude * np.exp(1j * initial_phase) errors = [] for i in range(num_iterations): # 正向傅里叶变换 Z = np.fft.fft2(z) # 计算误差并检查终止条件 error = np.sum((np.abs(Z) - abs_ft_obj) ** 2) errors.append(error) if error <= epsilon: print(f'HIO algorithm converged after {i + 1} iterations with error {error:.6f}') break # 在傅里叶空间中施加振幅约束 Z = abs_ft_obj * Z / np.abs(Z) # 逆傅里叶变换 z_prime = np.fft.ifft2(Z) # 在实空间中施加振幅约束,并引入反馈机制 mask = (amplitude != 0) z = np.where(mask, amplitude * z_prime / np.abs(z_prime), z - beta * z_prime) final_phase = np.angle(z) return final_phase, errors # 参数设置 num_iterations = 50 beta = 0.9 epsilon = 1e-6 # 应用GS算法 gs_phase, gs_errors = gerchberg_saxton(amplitude_image, initial_phase, num_iterations, epsilon) # 应用HIO算法 hio_phase, hio_errors = hio(amplitude_image, initial_phase, num_iterations, beta, epsilon) # 设置绘图的字体和字号 font = {'family': 'serif', 'weight': 'normal', 'size': 20} plt.rc('font', **font) # 显示结果 plt.figure(figsize=(12, 6)) plt.subplot(1, 3, 1) plt.title('Original Phase') plt.imshow(phase_image, cmap='gray') plt.axis('off') plt.subplot(1, 3, 2) plt.title('GS Phase') plt.imshow(gs_phase, cmap='gray') plt.axis('off') plt.subplot(1, 3, 3) plt.title('HIO Phase') plt.imshow(hio_phase, cmap='gray') plt.axis('off') plt.tight_layout() plt.show() # 绘制误差下降曲线 plt.figure(figsize=(12, 6)) plt.plot(gs_errors, label='GS Errors') plt.plot(hio_errors, label='HIO Errors') plt.xlabel('Iteration') plt.ylabel('Error') plt.yscale('log') plt.title('Error Convergence') plt.legend() plt.show()
循环50次的结果对比如下:
GS算法和HIO算法都是相位检索的有效方法,各有优缺点。GS算法简单易实现,但在复杂情况下收敛较慢且易陷入局部极小值。HIO算法通过引入反馈机制加速收敛,并增强鲁棒性,但其实现相对复杂且对参数选择敏感。在实际应用中,可以根据具体问题的需求选择合适的算法,或者结合两种算法的优点进行混合使用。
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