信道均衡理论

一、基本概念

1. 什么是均衡？
   在得到的$Y[n]$当中，存在符号间干扰和噪声。在通信当中，把符号间干扰去掉的技术叫作均衡( equalization)。

2. 横向抽头滤波器
   
   图中$x(t)$为存在符号间干扰的模拟基带信号,$y(t)$是经过均衡后的信号，符号间干扰被大大降低。

3. 离散线性系统
   
   将H写成列向量的形式：
   
   很容易看出，$y=Hx+z$即表达出卷积运算。
   应用实际信号的传输与接收：$y=Ax+z$:
   
   上面A即为得到的信道矩阵，现在的任务就是利用接收到的信号$y$和H，均衡得到原始信号$x$。
   注意一个细节，要得到x的解，就是解方程组，因此要求rank(A）=$N_x$，也是未知数的个数。（涉及到什么矩阵的病态问题 暂时没看）

二、迫零算法

此时可以看出，没有了符号间的相互干扰，只有一个噪声项。但一般情况A不是方式，没有$A^{-1}$。
现在：

让$L$最小（就是最小二乘准则）。如果z是复高斯分布，等价于最大似然准则。
然后就是求导取最小值，最后的结果：

上面的操作就成为迫零算法。将y代入这个估计：
然后通过解方程即可得到估计的$\hat{x}$
注：matlab操作很简单，对数据进行点除即可。

三、最小均方误差MMSE算法

迫零算法中，只用到了矩阵A和观测数据y，若现在已经知道了信号和噪声的某些统计特性，就可进一步估计，于是MMSE算法就上场了。

构造损失函数：
$L$称作均方误差，使他最小化的算法叫做MMSE算法。

最后的结果：

网上的解释是以求解$\hat{x}$，于是构建一个均衡矩阵G，然后接受的信号y右乘该矩阵。即：

而这里的求解是用右乘y，略有差别。

相较于ZF算法，多了一项方差。起到了什么作用呢？