python:logistic,softmax函数_logistic函数 softmax函数

在学习时，经常会遇到分类的问题，简单的讲：分类就是设定一个阈值，将你想分类的对象与这个阈值进行比较，根据结果来进行决定分类。
最简单的分类函数是阶跃函数（简单粗暴）

但问题在于，这模型不够光滑，阶跃点从0到1突变，阶跃点难以处理，分类的效果也就那样。
logistic函数：一种常见的S形函数，它是皮埃尔·弗朗索瓦·韦吕勒在1844或1845年在研究它与人口增长的关系时命名的。（生物课上经常看到）

公式为：

$$g(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$
logistic函数的优点：
够光滑，取值从-∞到∞，而且每一点的导数都存在
python实现：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
def logistic(x):
    return 1/(1+np.exp(-x))

x=np.arange(-6.0,6.0,0.1)
plt.plot(x,logistic(x).T,linewidth=2)
plt.show()
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结果：

softmax函数：
本质是将一个K维的任意实数向量压缩（映射）成另一个K维的实数向量，其中向量中的每个元素取值都介于（0，1）之间。
与logistic函数不同的是，logistic函数主要解决的是二分类问题，而softmax函数主要解决的是多分类问题
softmax函数公式：

$$\sigma(z)_{j}=\frac{e^{z}j}{\sum_{k=1}^{K}e^{z_{k}}}$$

python代码：

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

def softmax(x):
    return np.exp(x)/np.sum(np.exp(x),axis=0)

x=np.arange(-2.0,6.0,0.1)
scores=np.stack([x,np.ones_like(x),0.2*np.ones_like(x)])
plt.plot(x,softmax(scores).T,linewidth=2)
plt.show()
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结果：

logistic函数与softmax函数的区别：
softmax建模使用的分布是多项式分布，而logistic则基于伯努利分布，
伯努利分布是一种离散分布,有两种可能的结果1和0。

$$p_{n}=\left\{\begin{matrix} 1-p & n=0 \\ p& n=1 \end{matrix}\right.$$
多项式分布是二项分布的推广，有不止二种结果

softmax回归和多个logistic回归的关系：
softmax回归进行的多分类，类与类之间是互斥的，即一个输入只能被归为一类；
多个logistic回归进行多分类，输出的类别并不是互斥的，即”苹果”这个词语既属于”水果”类也属于”3C”类别。

相关博客：
logistic函数和softmax函数