堆排序 和 模拟堆（C++）_模拟堆c++

堆

堆：一种特殊的完全二叉树结构

大根堆：除了叶节点外，每个节点的值都大于等于它的左右儿子
小根堆：除了叶节点外，每个节点的值都大于等于它的左右儿子

基本思想

（以小根堆为例）
（1）将待排序的序列构造成大根堆，根据小根堆的性质，堆顶就是最小的元素
（2）将堆顶元素和最后一个元素(叶子节点中最右边的节点）交换，然后将剩下的节点重新构造小根 堆，如此反复
（3）直到只剩一个元素说明已经排好序了

建堆
主要思路：第一次保证0到0位置小根堆结构（废话），第二次保证0到1位置小根堆结构，第三次保证0到2位置小根堆结构…直到保证0~n-1位置小根堆结构（每次新插入的数据都与其父结点进行比较，如果插入的数比父结点小，则与父结点交换，否则一直向上交换，直到大于等于父结点，或者来到了顶端）

void buildHeap() //建堆
{
    for (int i = cnt/2; i ;i--)
    {
        down(i);
    }
}
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基本模板

// h[N]存储堆中的值, h[1]是堆顶，x的左儿子是2x, 右儿子是2x + 1
// ph[k]存储第k个插入的点在堆中的位置
// hp[k]存储堆中下标是k的点是第几个插入的
int h[N], ph[N], hp[N], size;

// 交换两个点，及其映射关系
void heap_swap(int a, int b)
{
    swap(ph[hp[a]],ph[hp[b]]);
    swap(hp[a], hp[b]);
    swap(h[a], h[b]);
}

void down(int u)
{
    int t = u;
    if (u * 2 <= size && h[u * 2] < h[t]) t = u * 2;
    if (u * 2 + 1 <= size && h[u * 2 + 1] < h[t]) t = u * 2 + 1;
    if (u != t)
    {
        heap_swap(u, t);
        down(t);
    }
}

void up(int u)
{
    while (u / 2 && h[u] < h[u / 2])
    {
        heap_swap(u, u / 2);
        u >>= 1;
    }
}

// O(n)建堆
for (int i = n / 2; i; i -- ) down(i);

作者：yxc
链接：https://www.acwing.com/blog/content/404/
来源：AcWing
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经典例题

1、AcWing 838. 堆排序

输入一个长度为n的整数数列，从小到大输出前m小的数。

输入格式
第一行包含整数n和m。

第二行包含n个整数，表示整数数列。

输出格式
共一行，包含m个整数，表示整数数列中前m小的数。

数据范围
1≤m≤n≤105，
1≤数列中元素≤109
输入样例：

5 3
4 5 1 3 2
1
2

输出样例：

1 2 3
1

#include <iostream>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N = 100010;

int n, m;
int h[N];//h[]即为堆 heap  为了方便堆的下标从1开始
int cnt;//cnt为堆的大小

void down(int u)//调整堆
{
    int t = u;//t表示3个节点中的最小值
    //判断左右子树是否存在 由于是用完全二叉树存储 ,所以左子树为2x,右子树为2x+1 
    if (u * 2 <= cnt && h[u * 2] < h[t]) t = u * 2;
    if (u * 2 + 1 <= cnt && h[u * 2 + 1] < h[t]) t = u * 2 + 1;
    if (u != t)//不是父节点的值就交换一下
    {
        swap(h[u], h[t]);
        down(t);
    }
}

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &m);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) scanf("%d", &h[i]);
    cnt = n;

    for (int i = n / 2; i; i -- ) down(i);//建堆

    while (m -- )
    {
        printf("%d ", h[1]);
        h[1] = h[cnt -- ];//最小值由末尾的值覆盖
        down(1);//此时1的位置 即根的位置已经是末尾的值，这个操作就是为将其回归原位,而此时上浮的就是原序列中第二小的值
    }

    puts("");

    return 0;
}
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作者：yxc 来源：AcWing

2、AcWing 839. 模拟堆
维护一个集合，初始时集合为空，支持如下几种操作：

“I x”，插入一个数x；
“PM”，输出当前集合中的最小值；
“DM”，删除当前集合中的最小值（数据保证此时的最小值唯一）；
“D k”，删除第k个插入的数；
“C k x”，修改第k个插入的数，将其变为x；
现在要进行N次操作，对于所有第2个操作，输出当前集合的最小值。

输入格式
第一行包含整数N。

接下来N行，每行包含一个操作指令，操作指令为”I x”，”PM”，”DM”，”D k”或”C k x”中的一种。

输出格式
对于每个输出指令“PM”，输出一个结果，表示当前集合中的最小值。

每个结果占一行。

数据范围
1≤N≤105
−109≤x≤109
数据保证合法。

输入样例：

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I -10
PM
I -10
D 1
C 2 8
I 6
PM
DM
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输出样例：

-10
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#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <string.h>

using namespace std;

const int N = 100010;

int h[N];//堆
int ph[N];//存放第k个插入点的下标
int hp[N];//存放堆中点的插入次序
int cnt; //cnt 记录的是堆当前的数据多少

//这个交换过程其实有那么些绕 但关键是理解 如果hp[u]=k 则ph[k]=u 的映射关系
//之所以要进行这样的操作是因为 经过一系列操作 堆中的元素并不会保持原有的插入顺序
//从而我们需要对应到原先第K个堆中元素
//如果理解这个原理 那么就能明白其实三步交换的顺序是可以互换 
//h,hp,ph之间两两存在映射关系 所以交换顺序的不同对结果并不会产生影响
void heap_swap(int a, int b)
{
    swap(ph[hp[a]],ph[hp[b]]);
    swap(hp[a], hp[b]);
    swap(h[a], h[b]);
}

void down(int u)
{
    int t = u;
    if (u * 2 <= cnt && h[u * 2] < h[t]) t = u * 2;
    if (u * 2 + 1 <= cnt && h[u * 2 + 1] < h[t]) t = u * 2 + 1;
    if (u != t)
    {
        heap_swap(u, t);
        down(t);
    }
}

void up(int u)
{
    while (u / 2 && h[u] < h[u / 2])
    {
        heap_swap(u, u / 2);
        u >>= 1;
    }
}

int main()
{
    int n, m = 0;//m用来记录插入的数的个数,对应上文 m即是hp中应该存的值
    scanf("%d", &n);
    while (n -- )
    {
        char op[5];
        int k, x;
        scanf("%s", op);
        if (!strcmp(op, "I"))
        {
            scanf("%d", &x);
            cnt ++ ;
            m ++ ;//记录第几次插入
            ph[m] = cnt, hp[cnt] = m;//每次插入都是在堆尾插入
            h[cnt] = x;//记录插入的值
            up(cnt);
        }
        else if (!strcmp(op, "PM")) printf("%d\n", h[1]);
        else if (!strcmp(op, "DM"))
        {
            heap_swap(1, cnt);
            cnt -- ;
            down(1);
        }
        else if (!strcmp(op, "D"))
        {
            scanf("%d", &k);
            k = ph[k];//必须要保存当前被删除结点的位置
            heap_swap(k, cnt);//第k个插入的元素移到了堆尾，此时ph[k]指向堆尾
            cnt -- ;//删除堆尾
            up(k);//k是之前记录被删除的结点的位置
            down(k);
        }
        else
        {
            scanf("%d%d", &k, &x);
            k = ph[k];
            h[k] = x;//此处由于未涉及heap_swap操作且下面的up、down操作只会发生一个,所以可直接传入ph[k]作为参数
            up(k);
            down(k);
        }
    }

    return 0;
}

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