机器学习-50-RL-02-Proximal Policy Optimization(强化学习-PPO-近端策略优化)

Proximal Policy Optimization

Proximal Policy Optimization，简称PPO，即近端策略优化，是对Policy Graident，即策略梯度的一种改进算法。PPO的核心精神在于，通过一种被称之为Importance Sampling的方法，将Policy Gradient中On-policy的训练过程转化为Off-policy，即从在线学习转化为离线学习，某种意义上与基于值迭代算法中的Experience Replay有异曲同工之处。通过这个改进，训练速度与效果在实验上相较于Policy Gradient具有明显提升。

On-policy v.s. Off-policy

on policy：和环境交互的agent和要学习的agent是一个agent。举个例子：阿光自己下棋，并且学习如何下棋。自己在探索，自己在学习。

off policy：和环境交互的agent和要学习的agent不是一个agent。举个例子：阿光看佐为下棋，阿光在学习。就是说agent用别人的数据在进行学习。就像皇帝仅仅是在朝听政，各个大臣来向皇帝汇报情况。

平时我们自己使用的policy gradient都是on policy。就是使用一个$\theta$ 来求得一大堆的数据，之后更新这个$\theta$为${\theta }^1$ ，但是得到${\theta }^1$ 之后之前的$\theta$ 就是错的，所以要用${\theta }^1$ 来重新获得一大堆数据，所以整个过程就是比较墨迹的。所以我们思考如何能不需要一直用$\theta$ 来获取数据，于是就有了off policy的情况！

我们的目标是使用固定的${\theta }^{\prime }$来获取数据，之后一直使用这些数据来更新$\theta$ 。无论以后$\theta$ 如何改变，一直都使用这些数据。

Importance Sampling

在前面提到，PPO的一个核心改进是将Policy Gradient中On-policy的训练过程转化为Off-policy，即从在线学习转化为离线学习，这个转化过程被称之为Importance Sampling，是一种数学手段。

x服从p分布，我们计算$f(x)$ 的期望：
$$E_{x\sim p}[f(x)]=\int f(x)p(x)dx$$
但是p分布是很难计算（采样）的。于是我们引入一个比较容易计算（采样）的q分布，于是在分子分母同时乘以$q(x)$，于是就变成了服从q分布的x来求期望：
$$E_{x\sim p}[f(x)]=\int f(x)p(x)dx=\int f(x)\frac{p(x)}{q(x)}q(x)dx=E_{x\sim q}[f(x)\frac{p(x)}{q(x)}]$$

我们研究了使用重要性采样实现on policy 到off policy的转换，我们知道期望值几乎是差不多的，但是我们不知道使用off policy以后方差的变化会是怎样。

于是就计算了方差的公式

由方差公式：
$$Var[X]=E[X^2]-(E[X]{)}^2$$
可以得到：
$$Va{r}_{x\sim p}[f(x)]=E_{x\sim p}[f(x{)}^2]-(E_{x\sim p}[f(x)]{)}^2$$

V a r x ∼ q [ f ( x ) p ( x ) q ( x ) ] = E x ∼ q [ ( f ( x ) p ( x ) q ( x ) ) 2 ] − ( E x ∼ q [ f ( x ) p ( x ) q ( x ) ] ) 2

$$\begin{aligned} Var_{x\sim q}[f(x)\frac{p(x)}{q(x)}] & = E_{x\sim q}\left[\left(f(x)\frac{p(x)}{q(x)}\right)^2 \right] -\left(E_{x\sim q}\left[f(x)\frac{p(x)}{q(x)}\right]\right)^2 \\ \end{aligned}$$ Varx∼q​[f(x)q(x)p(x)​]​=Ex∼q​[(f(x)q(x)p(x)​)2]−(Ex∼q​[f(x)q(x)p(x)​])2​
由下面两个式子：
$$E_{x\sim q}\left[{\left(f(x)\frac{p(x)}{q(x)}\right)}^2\right]=E_{x\sim q}\left[f(x{)}^2\frac{p(x{)}^2}{q(x{)}^2}\right]=\sum _{q}f(x{)}^2\frac{p(x)}{q(x)}p(x)=E_{x\sim p}f(x{)}^2\frac{p(x)}{q(x)}$$

$$E_{x\sim p}[f(x)]=E_{x\sim q}\left[f(x)\frac{p(x)}{q(x)}\right]$$

又可以将$Va{r}_{x\sim q}[f(x)\frac{p(x)}{q(x)}]$进一步化简：
V a r x ∼ q [ f ( x ) p ( x ) q ( x ) ] = E x ∼ q [ ( f ( x ) p ( x ) q ( x ) ) 2 ] − ( E x ∼ q [ f ( x ) p ( x ) q ( x ) ] ) 2 = E x ∼ p [ f ( x ) 2 p ( x ) q ( x ) ] − ( E x ∼ p [ f ( x ) ] ) 2

$$\begin{aligned} Var_{x\sim q}[f(x)\frac{p(x)}{q(x)}] & = E_{x\sim q}\left[\left(f(x)\frac{p(x)}{q(x)}\right)^2 \right] -\left(E_{x\sim q}\left[f(x)\frac{p(x)}{q(x)}\right]\right)^2 \\ & = E_{x\sim p}\left[f(x)^2\frac{p(x)}{q(x)}\right]- (E_{x\sim p}[f(x)])^2 \end{aligned}$$ Varx∼q​[f(x)q(x)p(x)​]​=Ex∼q​[(f(x)q(x)p(x)​)2]−(Ex∼q​[f(x)q(x)p(x)​])2=Ex∼p​[f(x)2q(x)p(x)​]−(Ex∼p​[f(x)])2​

对比两个方差，最后发现第二项对于方差的影响是很小的，但是第一项对于方差的影响还是有的。

于是我们晓得，当使用重要性采样的时候，要保证只有$p(x)$和$q(x)$ 的区别不大，才会使得方差的区别很小。（如果从分布p到分布q的话，就要乘以$\frac{p(x)}{q(x)}$）

因此，我们要做的就是保证$p(x)$和$q(x)$ 的区别不大，并且尽量sample完全！如果这两点没有保证，会发生什么情况呢？我们看下面这个例子：

我们使用一个直观一点的方式去理解这个问题，我们之前计算p分布下的期望，之后我们计算q分布下的期望。假设sample不是很完全的情况下，计算p的时候大部分都是在y轴左侧，f（x）一般都是负数。但是计算q的时候，大部分都是在y轴的右侧，f（x）一般都是正值，而且$\frac{p(x)}{q(x)}$都是正数，所以如果sample不完全的时候，很可能计算的结果都是相反的。因此我们要尽可能的sample多的数据，如果我们此时sample到的一个点在左边，那么通过$\frac{p(x)}{q(x)}$就可以得到一个较大的权重，乘以此时的f(x)可能就可以中和多数sample在右边的正数，最终的结果可能就是负数。

其实这也是p（x）和q（x）不一致所导致的问题，所以我们要尽量p（x）需要和q（x）保持一致。

On-policy -> Off-policy

我们之前使用on policy的时候是使用$\theta$来产生数据，之后计算梯度，更新$\theta$，之后使用更新后的$\theta$再产生数据，更新梯度……

但是off policy的方法，我们使用一个固定的${\theta }^{\prime }$来产生数据，并用这些数据来更新$\theta$，并且之后一直使用这些数据来更新$\theta$ 。因此我们只需要使用一次${\theta }^{\prime }$来产生数据即可，无论以后$\theta$ 如何改变，一直都使用这些数据而无需继续sample。

从On-policy->Off-policy，我们的梯度公式发生了改变，也就是说我们要Maximize的对象也发生了改变：

这个便是我们计算梯度的过程，第一个等式是我们计算on policy的：
$$=E_{(s_t,a_t)\sim {\pi }_{\theta }}[A^{\theta }(s_t,a_t)▽log{p}_{\theta }(a_t^n|s_t^n)]$$
我们通过重要性采样来变成off policy：
$$=E_{(s_t,a_t)\sim {\pi }_{{\theta }^{\prime }}}[\frac{P_{\theta }(s_t,a_t)}{P_{{\theta }^{\prime }}(s_t,a_t)}{A}^{{\theta }^{\prime }}(s_t,a_t)▽log{p}_{\theta }(a_t^n|s_t^n)]$$
注意此处$A^{\theta }$ 变成$A^{{\theta }^{\prime }}$，因为这一项表示的意思是在某一个state采取某一个action会得到reward减去一个baseline。之前我们是通过$\theta$与环境做互动得到reward，而现在是通过${\theta }^{\prime }$与环境做互动得到reward。

之后我们把条件概率的值展开：
$$=E_{(s_t,a_t)\sim {\pi }_{{\theta }^{\prime }}}[\frac{p_{\theta }(a_t|s_t)}{p_{{\theta }^{\prime }}(a_t|s_t)}\frac{p_{{\theta }^{\prime }}(s_t)}{p_{{\theta }^{\prime }}(s_t)}{A}^{{\theta }^{\prime }}(s_t,a_t)▽log{p}_{\theta }(a_t^n|s_t^n)]$$
但是条件概率的第二项我们不知道该怎么计算，同时我们也是无法计算的，因为出现游戏中出现哪个s的概率我们是不晓得的，因此我们就假设它不存在好了：
$$=E_{(s_t,a_t)\sim {\pi }_{{\theta }^{\prime }}}[\frac{p_{\theta }(a_t|s_t)}{p_{{\theta }^{\prime }}(a_t|s_t)}{A}^{{\theta }^{\prime }}(s_t,a_t)▽log{p}_{\theta }(a_t^n|s_t^n)]$$
接下来我们来看一下我们原始式子，也就是我们要Maximize的原始对象是什么！

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在看这个之前，我们先来看一下我们之前用原始式子：
$$\overline{R_{\theta }}=\sum _{\tau }R(\tau )P(\tau |\theta )$$
的推倒梯度的过程(更加详细的请看上一篇文章)：

根据公式：
$$▽logf(x)=\frac{dlog(f(x))}{dx}=\frac{1}{f(x)}\frac{df(x)}{dx}=\frac{▽f(x)}{f(x)}$$
可以推到得到：
▽ R θ ‾ = ∑ t R ( τ ) ▽ P ( τ ∣ θ ) = ∑ τ R ( τ ) P ( τ ∣ θ ) ▽ P ( τ ∣ θ ) P ( τ ∣ θ ) = ∑ τ R ( τ ) P ( τ ∣ θ ) ▽ l o g P ( τ ∣ θ )

$$\begin{aligned} \bigtriangledown\overline{R_{\theta}} = & \sum_tR(\tau)\bigtriangledown P(\tau|\theta) \\ =& \sum_{\tau}R(\tau)P(\tau|\theta)\frac{\bigtriangledown P(\tau|\theta)}{P(\tau|\theta)}\\ = & \sum_{\tau}R(\tau)P(\tau|\theta)\bigtriangledown logP(\tau|\theta) \end{aligned}$$ ▽Rθ​​===​t∑​R(τ)▽P(τ∣θ)τ∑​R(τ)P(τ∣θ)P(τ∣θ)▽P(τ∣θ)​τ∑​R(τ)P(τ∣θ)▽logP(τ∣θ)​

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因此根据式子：
$$=E_{(s_t,a_t)\sim {\pi }_{{\theta }^{\prime }}}[\frac{p_{\theta }(a_t|s_t)}{p_{{\theta }^{\prime }}(a_t|s_t)}{A}^{{\theta }^{\prime }}(s_t,a_t)▽log{p}_{\theta }(a_t^n|s_t^n)]$$
可以很简单的就知道了我们要Maximize的原始目标就是前面两项：
$$J^{{\theta }^{\prime }}(\theta )=E_{(s_t,a_t)\sim {\pi }_{{\theta }^{\prime }}}\left[\frac{p_{\theta }(a_t|s_t)}{p_{{\theta }^{\prime }}(a_t|s_t)}{A}^{{\theta }^{\prime }}(s_t,a_t)\right]$$
我们也可以进行逆推得到的哦~：
G r i d e n t   f o r   u p d a t e = E ( s t , a t ) ∼ π θ ′ [ p θ ( a t ∣ s t ) p θ ′ ( a t ∣ s t ) A θ ′ ( s t , a t ) ▽ l o g p θ ( a t n ∣ s t n ) ] = E ( s t , a t ) ∼ π θ ′ [ p θ ( a t ∣ s t ) p θ ′ ( a t ∣ s t ) A θ ′ ( s t , a t ) ▽ p θ ( a t n ∣ s t n ) p θ ( a t n ∣ s t n ) ] = ∑ π θ ′ [ p θ ( a t ∣ s t ) p θ ′ ( a t ∣ s t ) A θ ′ ( s t , a t ) ▽ p θ ( a t n ∣ s t n ) p θ ( a t n ∣ s t n ) p θ ( a t n ∣ s t n ) ] = ∑ π θ ′ [ p θ ( a t ∣ s t ) p θ ′ ( a t ∣ s t ) A θ ′ ( s t , a t ) ▽ p θ ( a t n ∣ s t n ) ] = ▽ ∑ π θ ′ [ p θ ( a t ∣ s t ) p θ ′ ( a t ∣ s t ) A θ ′ ( s t , a t ) p θ ( a t n ∣ s t n ) ] = ▽ E ( s t , a t ) ∼ π θ ′ [ p θ ( a t ∣ s t ) p θ ′ ( a t ∣ s t ) A θ ′ ( s t , a t ) ]

$$\begin{aligned} Grident \ for \ update &= E_{(s_t,a_t)\sim \pi_{\theta'}}\left[\frac{p_{\theta}(a_t|s_t)}{p_{\theta'}(a_t|s_t)}A^{\theta'}(s_t,a_t)\bigtriangledown log p_{\theta}(a_t^n|s_t^n)\right] \\ &= E_{(s_t,a_t)\sim \pi_{\theta'}}\left[\frac{p_{\theta}(a_t|s_t)}{p_{\theta'}(a_t|s_t)}A^{\theta'}(s_t,a_t)\frac{\bigtriangledown p_{\theta}(a_t^n|s_t^n)}{p_{\theta}(a_t^n|s_t^n)}\right] \\ &= \sum_{\pi_{\theta'}}\left[\frac{p_{\theta}(a_t|s_t)}{p_{\theta'}(a_t|s_t)}A^{\theta'}(s_t,a_t)\frac{\bigtriangledown p_{\theta}(a_t^n|s_t^n)}{p_{\theta}(a_t^n|s_t^n)}p_{\theta}(a_t^n|s_t^n)\right] \\ &= \sum_{\pi_{\theta'}}\left[\frac{p_{\theta}(a_t|s_t)}{p_{\theta'}(a_t|s_t)}A^{\theta'}(s_t,a_t)\bigtriangledown p_{\theta}(a_t^n|s_t^n)\right]\\ &= \bigtriangledown\sum_{\pi_{\theta'}}\left[\frac{p_{\theta}(a_t|s_t)}{p_{\theta'}(a_t|s_t)}A^{\theta'}(s_t,a_t) p_{\theta}(a_t^n|s_t^n)\right]\\ &= \bigtriangledown E_{(s_t,a_t)\sim \pi_{\theta'}}\left[\frac{p_{\theta}(a_t|s_t)}{p_{\theta'}(a_t|s_t)}A^{\theta'}(s_t,a_t)\right]\\ \end{aligned}$$ Grident for update​=E(st​,at​)∼πθ′​​[pθ′​(at​∣st​)pθ​(at​∣st​)​Aθ′(st​,at​)▽logpθ​(atn​∣stn​)]=E(st​,at​)∼πθ′​​[pθ′​(at​∣st​)pθ​(at​∣st​)​Aθ′(st​,at​)pθ​(atn​∣stn​)▽pθ​(atn​∣stn​)​]=πθ′​∑​[pθ′​(at​∣st​)pθ​(at​∣st​)​Aθ′(st​,at​)pθ​(atn​∣stn​)▽pθ​(atn​∣stn​)​pθ​(atn​∣stn​)]=πθ′​∑​[pθ′​(at​∣st​)pθ​(at​∣st​)​Aθ′(st​,at​)▽pθ​(atn​∣stn​)]=▽πθ′​∑​[pθ′​(at​∣st​)pθ​(at​∣st​)​Aθ′(st​,at​)pθ​(atn​∣stn​)]=▽E(st​,at​)∼πθ′​​[pθ′​(at​∣st​)pθ​(at​∣st​)​Aθ′(st​,at​)]​
因此去掉梯度后，我们的原始式子就是：
$$J^{{\theta }^{\prime }}(\theta )=E_{(s_t,a_t)\sim {\pi }_{{\theta }^{\prime }}}\left[\frac{p_{\theta }(a_t|s_t)}{p_{{\theta }^{\prime }}(a_t|s_t)}{A}^{{\theta }^{\prime }}(s_t,a_t)\right]$$

Add Constraint

PPO/TRPO

我们为了使$\theta$和${\theta }^{\prime }$不要相隔太远的话，我们引入了两个新的方法，一种是PPO / TRPO，PPO是TRPO的改进版，在编程方面，前者是更加轻松的。

PPO是引入一个$KL(\theta ,{\theta }^{\prime })$：

• 如果$\theta ,{\theta }^{\prime }$ 相差太大，$KL(\theta ,{\theta }^{\prime })$的值就非常大，我们增加这一部分惩罚；
• 如果$\theta ,{\theta }^{\prime }$相差小，$KL(\theta ,{\theta }^{\prime })$的值就非常小，我们就减小这一部分的惩罚

我们最终要Maximize $J_{PPO}^{{\theta }^{\prime }}$，就尽可能的使$KL(\theta ,{\theta }^{\prime })$小！这里的$\beta$是一个自定义的值，我们可以根据$KL(\theta ,{\theta }^{\prime })$的大小进行调整，下面的算法处会介绍！

这里要注意的是我们的Constraint $KL(\theta ,{\theta }^{\prime })$ 并不是针对参数$\theta$和${\theta }^{\prime }$ 的而是针对这两个参数下行为的！也就是说我们的目的并不是使这两个参数不要相差太多，而是说，输入同样的state，输出的action的概率分布不能差太远。得到action的概率分布的相似程度，我们可以用KL散度来计算。

从TRPO的式子我们也可以看出来，它其实也使用KL散度：$KL(\theta ,{\theta }^{\prime })$。但它的不同之处在于并不是将它加入到我们要Maximize的目标中，而是额外增加了一个限制：$KL(\theta ,{\theta }^{\prime })<\beta$。这样会使得计算更加麻烦！

PPO algorithm

ppo的主要流程：

• 先找一个${\theta }^0$ 去初试化$\theta$

• 在每一个迭代中：

  • 找到一个${\theta }^k$ 用来收集数据，数据是一堆$(s_t,a_t)$的pair，并且计算每个pair的advantage$A^{{\theta }^k}(s_t,a_t)$

  • 找到$\theta$ 来 optimizing $J_{ppo}(\theta )$。

在使用的过程中，可以动态的更新β：

• 当$KL$的值过大的时候，意味着$\theta ,{\theta }^k$之间差别很大，这时候意味着第二项的权重太小，不足以限制，于是就加大了β；
• 反之，如果$KL$的值过小，就意味着$\theta ,{\theta }^k$之间差别很小，意味着第二项已经起到了作用，所以就减小β

PPO2

还有一种PPO2算法，其作用也是为了减少$\theta ,{\theta }^k$ 之间差别。

看起来很复杂，我们可以直接看下面的两幅图中，横坐标都是 $\frac{p_{\theta }(a_t|s_t)}{p_{{\theta }^k(a_t|s_t)}}$：

• 当A>0时候，奖励是正的，更新的幅度越大越好，但是因为加入惩罚，所以更新的幅度在横坐标大于$1+ϵ$时候，就会乘以同一个幅度$1+ϵ$，所以是一条横线。这样就使得不会无限制增大而导致$\theta ，{\theta }^k$的差别越来越大。我们允许$\frac{p_{\theta }(a_t|s_t)}{p_{{\theta }^k(a_t|s_t)}}$最大就是$1+ϵ$ 时，因此达到这个值是我们就会停止！

  假设我们允许无限增大，就会导致当前state采取的action的概率$p_{\theta }(a_t|s_t)$越来越大，本来我们的$\frac{p_{\theta }(a_t|s_t)}{p_{{\theta }^k(a_t|s_t)}}$就已经大于$1+ϵ$了，再增加$p_{\theta }(a_t|s_t)$的概率，就会导致$\theta ，{\theta }^k$的差别越来越大！

• 同理，当A<0时候，奖励是负数，更新的幅度是越小越好，但是因为加入了惩罚，所以更新的幅度小于$1-ϵ$时，就会乘以同一个幅度$1-ϵ$，所以是一条横线。这样就使得不会无限制减小而导致$\theta ，{\theta }^k$的差别越来越大。我们允许$\frac{p_{\theta }(a_t|s_t)}{p_{{\theta }^k(a_t|s_t)}}$最小就是$1-ϵ$ 时，因此达到这个值是我们就会停止！

  假设我们允许无限减小，就会导致当前state采取的action的概率$p_{\theta }(a_t|s_t)$越来越小，本来我们的$\frac{p_{\theta }(a_t|s_t)}{p_{{\theta }^k(a_t|s_t)}}$就已经小$1-ϵ$了，再减小$p_{\theta }(a_t|s_t)$的概率，就会导致$\theta ，{\theta }^k$的差别越来越大！

其中clip的式子就是图中蓝色的线，一直是取蓝色和绿色线的最小值。使得无论是A是偏大还是偏小，都不要使得θ,θk之间差别过大

Experimental Results(实验结果)

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