【数学建模】钻井问题

已知

1. 12口井的坐标位置如下:
   x=[0.50,1.41,3.00,3.37,3.40,4.72,4.72,5.43,7.57,8.38,8.98, 9.50];
   y=[2.00,3.50,1.50,3.51,5.50,2.00,6.24,4.10,2.01,4.50,3.41,0.80];
2. 设平面有n个点$P_i$(表旧井井位),其坐标为$(a_i,b_i),i=1,2,\dots ,n$。新置的井位是一个正方形网格$N$的所有结点。假设每个格子的边长都是$1$单位。整个网格是可以在平面上任意移动的。若一个已知点$P_i$距某个网格结点$X_i$的距离不超过给定误差$ϵ$,则认为$P_i$处的旧井井位可以利用,不必在结点处打新井。
   

   需要研究的问题

   • 1)假定网格的横向和纵向是固定的,并规定两点间的距离为其横向距离(横坐标之差的绝对值)及纵向距离(纵坐标之差的绝对值)的最大者,在平面上平移网格N,使可利用的旧井数尽可能大,试提供数值计算方法。
   • 给出12口井的坐标，$ϵ=0.05$ , 按照问题一的要求求解

1)假定网格的横向和纵向是固定的,并规定两点间的距离为其横向距离(横坐标之差的绝对值)及纵向距离(纵坐标之差的绝对值)的最大者,在平面上平移网格N,使可利用的旧井数尽可能大,试提供数值计算方法。

本题主要是要建立旧井可利用判断模型

首先是按照题目建立两点距离符合误差$ϵ$范围内的判断模型
若一个已知点$P_i$$(a_i,b_i)$距某个网格结点$X_i(x_i,y_i)$的距离不超过给定误差$ϵ$
{ ∣ a i − x i ∣ ≤ ϵ ∣ b i − y i ∣ ≤ ϵ

$$\begin{cases} |a_i-x_i| \le \epsilon \\ |b_i-y_i| \le \epsilon \end{cases}$$ {∣ai​−xi​∣≤ϵ∣bi​−yi​∣≤ϵ​
或者

$\max (|a_i-x_i|,|b_i-y_i|)\le ϵ$

其次是网格平移模型，因为要研究的是网格平行对井的位置变化
设网格向右平移$x$个单位，向上平移$y$个单位;一个已知点$P_i$$(a_i,b_i)$
;网格平移后新点位置$P_j(a_j,b_j)$
有 { a j = a i + x b j = b i + y

$$\begin{cases} a_j = a_i+x \\ b_j = b_i + y \end{cases}$$ {aj​=ai​+xbj​=bi​+y​

综合上述模型和要可利用的旧井数尽可能大可得模型:

{ a n s = max ⁡ ∑ i ∈ N 1 ≤ i ≤ n f i max ⁡ ( ∣ a i + x − x i ∣ , ∣ b i + y − y i ∣ ) f i ≤ ϵ

$$\begin{cases} ans = \max \sum_{\substack{i\in N\\1\le i\le n} }{fi} \\ \max{(|a_i+x-x_i|,|b_i + y-y_i|)f_i}\le \epsilon \end{cases}$$ {ans=max∑i∈N1≤i≤n​​fimax(∣ai​+x−xi​∣,∣bi​+y−yi​∣)fi​≤ϵ​

现在还剩下一个问题某个网格结点$X_i(x_i,y_i)$是哪个网格点
这里问题就可以变成一个已知点$P_j$$(a_j,b_j)$求距离其最近的网格点$X_j(x_j,y_j)$
将一个小格子划分为四个区域观察规律可得
{ x j = ⌊ a j + 0.5 ⌋ y j = ⌊ b j + 0.5 ⌋

$$\begin{cases} x_j = \lfloor a_j+0.5 \rfloor \\ y_j = \lfloor b_j+0.5 \rfloor \end{cases}$$ {xj​=⌊aj​+0.5⌋yj​=⌊bj​+0.5⌋​

将这个式子带入我们的模型中可得
{ a n s = max ⁡ ∑ i ∈ N 1 ≤ i ≤ n f i max ⁡ ( ∣ a i + x − ⌊ a i + x + 0.5 ⌋ ∣ , ∣ b i + y − ⌊ b i + y + 0.5 ⌋ ∣ ) f i ≤ ϵ

$$\begin{cases} ans = \max \sum_{\substack{i\in N\\1\le i\le n} }{fi} \\ \max{(|a_i+x-\lfloor a_i+x+0.5 \rfloor|,|b_i + y-\lfloor b_i+y+0.5 \rfloor|)f_i}\le \epsilon \end{cases}$$ {ans=max∑i∈N1≤i≤n​​fimax(∣ai​+x−⌊ai​+x+0.5⌋∣,∣bi​+y−⌊bi​+y+0.5⌋∣)fi​≤ϵ​

给出12口井的坐标，$ϵ=0.05$ , 按照问题一的要求求解

按照问题一给的模型，进行调整
{ a n s = max ⁡ ∑ i ∈ N 1 ≤ i ≤ n f i max ⁡ ( ∣ x i + x − ⌊ x i + x + 0.5 ⌋ ∣ , ∣ y i + y − ⌊ y i + y + 0.5 ⌋ ∣ ) f i ≤ 0.05

$$\begin{cases} ans = \max \sum_{\substack{i\in N\\1\le i\le n} }{fi} \\ \max{(|x_i+x-\lfloor x_i+x+0.5 \rfloor|,|y_i + y-\lfloor y_i+y+0.5 \rfloor|)f_i}\le 0.05 \end{cases}$$ {ans=max∑i∈N1≤i≤n​​fimax(∣xi​+x−⌊xi​+x+0.5⌋∣,∣yi​+y−⌊yi​+y+0.5⌋∣)fi​≤0.05​

LINGO求解

sets:
	aa/1..12/:a,b,f;
endsets
data:
	a=0.50,1.41,3.00,3.37,3.40,4.72,4.72,5.43,7.57,8.38,8.98,9.50;
	b=2.00,3.50,1.50,3.51,5.50,2.00,6.24,4.10,2.01,4.50,3.41,0.80;
enddata
max = @sum(aa(i):f(i));
@for(aa(i):@bin(f(i)));
@for(aa(i):@smax(@abs(a(i)+x1-@floor(a(i)+x1+0.5)),@abs(b(i)+y1-@floor(b(i)+y1+0.5)))*f(i)<=0.05);
x1<1;
y1<1;
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12

or
{ a n s = max ⁡ ∑ i ∈ N 1 ≤ i ≤ n f i ∣ x i + x − ⌊ x i + x + 0.5 ⌋ ∣ f i ≤ 0.05 ∣ y i + y − ⌊ y i + y + 0.5 ⌋ ∣ f i ≤ 0.05

$$\begin{cases} ans = \max \sum_{\substack{i\in N\\1\le i\le n} }{fi} \\ |x_i+x-\lfloor x_i+x+0.5 \rfloor|f_i\le 0.05\\|y_i + y-\lfloor y_i+y+0.5 \rfloor|f_i\le 0.05 \end{cases}$$ ⎩ ⎨ ⎧​ans=max∑i∈N1≤i≤n​​fi∣xi​+x−⌊xi​+x+0.5⌋∣fi​≤0.05∣yi​+y−⌊yi​+y+0.5⌋∣fi​≤0.05​

sets:
	aa/1..12/:a,b,f;
endsets
data:
	a=0.50,1.41,3.00,3.37,3.40,4.72,4.72,5.43,7.57,8.38,8.98,9.50;
	b=2.00,3.50,1.50,3.51,5.50,2.00,6.24,4.10,2.01,4.50,3.41,0.80;
enddata
max = @sum(aa(i):f(i));
@for(aa(i):@bin(f(i)));
@for(aa(i):@abs(a(i)+x1-@floor(a(i)+x1+0.5))*f(i)<=0.05);
@for(aa(i):@abs(b(i)+y1-@floor(b(i)+y1+0.5))*f(i)<=0.05);
x1<1;
y1<1;
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答案如下

  Objective value:                              4.000000
  Objective bound:                              4.000000

 						  F( 1)        0.000000           -1.000000
                          F( 2)        1.000000            0.000000
                          F( 3)        0.000000           -1.000000
                          F( 4)        1.000000           -1.000000
                          F( 5)        1.000000            0.000000
                          F( 6)        0.000000           -1.000000
                          F( 7)        0.000000           -1.000000
                          F( 8)        0.000000           -1.000000
                          F( 9)        0.000000           -1.000000
                         F( 10)        1.000000            0.000000
                         F( 11)        0.000000           -1.000000
                         F( 12)        0.000000           -1.000000

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