LeetCode 235. 二叉搜索树的最近公共祖先

LeetCode 235. 二叉搜索树的最近公共祖先

1、题目

题目链接：235. 二叉搜索树的最近公共祖先
给定一个二叉搜索树, 找到该树中两个指定节点的最近公共祖先。
百度百科中最近公共祖先的定义为：“对于有根树 T 的两个结点 p、q，最近公共祖先表示为一个结点 x，满足 x 是 p、q 的祖先且 x 的深度尽可能大（一个节点也可以是它自己的祖先）。”
例如，给定如下二叉搜索树: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5]

示例 1:

输入: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5], p = 2, q = 8
输出: 6 
解释: 节点 2 和节点 8 的最近公共祖先是 6。
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示例 2:

输入: root = [6,2,8,0,4,7,9,null,null,3,5], p = 2, q = 4
输出: 2
解释: 节点 2 和节点 4 的最近公共祖先是 2, 因为根据定义最近公共祖先节点可以为节点本身。
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说明:

• 所有节点的值都是唯一的。
• p、q 为不同节点且均存在于给定的二叉搜索树中。

2、递归

思路

做过 236. 二叉树的最近公共祖先 题目的同学应该知道，利用回溯从底向上搜索，遇到一个节点的左子树里有p，右子树里有q，那么当前节点就是最近公共祖先。
那么本题是二叉搜索树，二叉搜索树是有序的，我们利用一下这个特点。
那么在有序树里，如果判断一个节点的左子树里有p，右子树里有q呢？
因为是有序树，所以如果中间节点是 q 和 p 的公共祖先，那么 中节点的数组 一定是在 [p, q]区间的。即 中节点 > p && 中节点 < q 或者 中节点 > q && 中节点 < p。
那么只要从上到下去遍历，遇到 cur 节点是数值在[p, q]区间中则一定可以说明该节点cur就是 p 和 q 的公共祖先。 那问题来了，一定是最近公共祖先吗？
如图，我们从根节点搜索，第一次遇到 cur 节点是数值在[q, p]区间中，即节点5，此时可以说明 q 和 p 一定分别存在于 节点 5 的左子树和右子树中。

此时节点5是不是最近公共祖先？ 如果从节点5继续向左遍历，那么将错过成为 p 的祖先， 如果从节点5继续向右遍历则错过成为 q 的祖先。
所以当我们从上向下去递归遍历，第一次遇到 cur 节点是数值在[q, p]区间中，那么 cur 就是 q 和 p 的最近公共祖先。
理解这一点，本题就很好解了。
而递归遍历顺序，本题就不涉及到前中后序了（这里没有中节点的处理逻辑，遍历顺序无所谓了）。
如图所示：p为节点6，q为节点9

可以看出直接按照指定的方向，就可以找到节点8，为最近公共祖先，而且不需要遍历整棵树，找到结果直接返回！

递归三部曲如下：

• 确定递归函数返回值以及参数

参数就是当前节点，以及两个结点 p、q。
返回值是要返回最近公共祖先，所以是TreeNode * 。
代码如下：

TreeNode* traversal(TreeNode* cur, TreeNode* p, TreeNode* q)
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• 确定终止条件

遇到空返回就可以了，代码如下：

if (cur == nullptr) return cur;
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其实都不需要这个终止条件，因为题目中说了p、q 为不同节点且均存在于给定的二叉搜索树中。也就是说一定会找到公共祖先的，所以并不存在遇到空的情况。

• 确定单层递归的逻辑

在遍历二叉搜索树的时候就是寻找区间[p->val, q->val]（注意这里是左闭又闭）
那么如果 cur->val 大于 p->val，同时 cur->val 大于q->val，那么就应该向左遍历（说明目标区间在左子树上）。
需要注意的是此时不知道p和q谁大，所以两个都要判断
代码如下：

if (cur->val > p->val && cur->val > q->val) {
    TreeNode* left = traversal(cur->left, p, q);
    if (left != nullptr) {
        return left;
    }
}
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如果 cur->val 小于 p->val，同时 cur->val 小于 q->val，那么就应该向右遍历（目标区间在右子树）。

if (cur->val < p->val && cur->val < q->val) {
    TreeNode* right = traversal(cur->right, p, q);
    if (right != nullptr) {
        return right;
    }
}
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剩下的情况，就是cur节点在区间（p->val <= cur->val && cur->val <= q->val）或者 （q->val <= cur->val && cur->val <= p->val）中，那么 cur 就是最近公共祖先了，直接返回 cur。
代码如下：

return cur;
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代码

class Solution {
private:
    TreeNode* traversal(TreeNode* cur, TreeNode* p, TreeNode* q) {
        if (cur == nullptr) {
            return cur;
        }
        // 如果当前节点的值大于p和q的值，则在左子树中继续搜索
        if (cur->val > p->val && cur->val > q->val) {
            TreeNode* left = traversal(cur->left, p, q);
            // 如果在左子树中找到了符合条件的节点，则返回该节点
            if (left != nullptr) {
                return left;
            }
        }

        // 如果当前节点的值小于p和q的值，则在右子树中继续搜索
        if (cur->val < p->val && cur->val < q->val) {
            TreeNode* right = traversal(cur->right, p, q);
            // 如果在右子树中找到了符合条件的节点，则返回该节点
            if (right != nullptr) {
                return right;
            }
        }
        // 如果当前节点满足条件（即值介于p和q之间），则返回当前节点
        return cur;
    }
public:
    TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
        return traversal(root, p, q);
    }
};
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复杂度分析

• 时间复杂度: O(n)
• 空间复杂度: O(n)

3、递归（精简版）

思路

1. 如果根节点的值大于p和q的值，说明p和q都在根节点的左子树中
2. 如果根节点的值小于p和q的值，说明p和q都在根节点的右子树中
3. 剩下的情况，就是节点在区间（p->val <= cur->val && cur->val <= q->val）或者 （q->val <= cur->val && cur->val <= p->val）中，那么根节点就是最近公共祖先了，直接返回root。

代码

class Solution {
public:
    TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
        // 如果根节点的值大于p和q的值，说明p和q都在根节点的左子树中
        if (root->val > p->val && root->val > q->val) {
            // 递归调用左子树
            return lowestCommonAncestor(root->left, p, q);
        // 如果根节点的值小于p和q的值，说明p和q都在根节点的右子树中
        } else if (root->val < p->val && root->val < q->val) {
            // 递归调用右子树
            return lowestCommonAncestor(root->right, p, q);
        // 否则，根节点就是p和q的最低公共祖先
        } else return root;
    }
};
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复杂度分析

• 时间复杂度: O(n)
• 空间复杂度: O(n)

4、迭代

思路

我们从根节点开始遍历

1. 如果当前节点的值大于 p 和 q 的值，说明 p 和 q 应该在当前节点的左子树，因此将当前节点移动到它的左子节点；
2. 如果当前节点的值小于 p 和 q 的值，说明 p 和 q 应该在当前节点的右子树，因此将当前节点移动到它的右子节点；
3. 如果当前节点的值不满足上述两条要求，那么说明当前节点就是「分岔点」。此时，p 和 q 要么在当前节点的不同的子树中，要么其中一个就是当前节点。

代码

class Solution {
public:
    TreeNode* lowestCommonAncestor(TreeNode* root, TreeNode* p, TreeNode* q) {
        while(root) {
            // 如果当前节点的值大于p和q的值，说明p和q都在当前节点的左子树中
            if (root->val > p->val && root->val > q->val) {
                root = root->left;
            // 如果当前节点的值小于p和q的值，说明p和q都在当前节点的右子树中
            } else if (root->val < p->val && root->val < q->val) {
                root = root->right;
            // 如果当前节点的值等于p或q的值，或者p和q分别在当前节点的左右子树中，那么当前节点就是最低公共祖先
            } else {
                return root;
            }
        }
        // 如果没有找到最低公共祖先，则返回nullptr
        return nullptr;
    }
};
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复杂度分析

• 时间复杂度: O(n)
• 空间复杂度: O(1)

总结

对于二叉搜索树的最近公共祖先问题，其实要比 236. 二叉树的最近公共祖先 简单的多。
不用使用回溯，二叉搜索树自带方向性，可以方便的从上向下查找目标区间，遇到目标区间内的节点，直接返回。
最后给出了对应的迭代法，二叉搜索树的迭代法甚至比递归更容易理解，也是因为其有序性（自带方向性），按照目标区间找就行了。