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凸优化学习笔记 2：超平面分离定理_分离超平面定理
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1. 超平面分离定理
超平面分离定理(Separating hyperplane theorem)：若
C
,
D
C,D
C,D 为非空凸集，且
C
∩
D
=
∅
C\cap D=\varnothing
C∩D=∅，则存在
a
≠
0
,
b
a\ne 0,b
a=0,b，使得
a
T
x
≤
b
for
x
∈
C
,
a
T
x
≥
b
for
x
∈
D
a^Tx\le b\quad\text{for}\quad x\in C,\quad a^Tx\ge b \quad\text{for}\quad x\in D
aTx≤bforx∈C,aTx≥bforx∈D
也可以等价表示为
inf
x
∈
D
a
T
x
≥
sup
x
∈
C
a
T
x
\inf_{x\in D}a^Tx \ge \sup_{x\in C}a^Tx
infx∈DaTx≥supx∈CaTx
Lemma 1： C C C closed，convex， y ∉ C y\notin C y∈/C，那么存在唯一的 x ∈ C x\in C x∈C，使得 ∥ y − x ∥ = inf { ∥ y − z ∥ ∣ z ∈ C } = d ( y , C ) \Vert y-x\Vert=\inf\{\Vert y-z\Vert|z\in C\}=d(y,C) ∥y−x∥=inf{∥y−z∥∣z∈C}=d(y,C)
Proof：omit…
Lemma 2：
C
C
C closed，convex，
y
∉
C
y\notin C
y∈/C，那么存在
a
≠
0
,
b
a\ne 0,b
a=0,b，使得
a
T
y
<
b
,
a
T
x
≥
b
∀
x
∈
C
a^Ty<b,\quad a^Tx\ge b\quad\forall x\in C
aTy<b,aTx≥b∀x∈C
Proof：omit…
Remark：上述定理表明存在超平面可以严格分开 y y y 与 C C C。
Lemma 3：
C
C
C convex，
y
∉
C
y\notin C
y∈/C，那么存在
a
≠
0
,
b
a\ne 0,b
a=0,b，使得
a
T
y
≤
b
,
a
T
x
≥
b
∀
x
∈
C
a^Ty\le b,\quad a^Tx\ge b\quad\forall x\in C
aTy≤b,aTx≥b∀x∈C
Proof：omit…
超平面分离定理逆定理：若 C C C 为开集，且存在超平面分离 C , D C,D C,D，则 C ∩ D = ∅ C\cap D=\varnothing C∩D=∅
2. 支撑超平面定理
支撑超平面：对于集合 C C C 的边界点 x 0 x_0 x0，支撑超平面为 { x ∣ a T x = a T x 0 } \{x|a^Tx=a^Tx_0\} {x∣aTx=aTx0}，其满足 a ≠ 0 a\ne0 a=0 且 a T x ≤ a T x 0 , ∀ x ∈ C a^Tx\le a^Tx_0,\ \forall x\in C aTx≤aTx0, ∀x∈C
支撑超平面定理：如果 C C C 为凸集，那么 C C C 的每个边界点都存在一个支撑超平面
