时间序列模型——AR、MA、ARMA、ARIMA_时间序列模型有哪些

时间序列模型

常用的时间序列模型有四种：自回归模型 AR( p )、移动平均模型 MA(q)、自回归移动平均模型 ARMA(p,q)、自回归差分移动平均模型 ARIMA(p,d,q), 前三种都是 ARIMA模型的特例。下面介绍这四种模型的原理。

自回归模型

自回归模型（英语：Autoregressive model，简称AR模型），是统计上一种处理时间序列的方法，用同一变数例如x的之前各期，亦即x1至xt-1来预测本期xt的表现，并假设它们为线性关系。因为这是从回归分析中的线性回归发展而来，只是不用x预测y，而是用x预测 x（自己）；所以叫做自回归。

X的期望值等于一个或数个滞后变量的线性组合，加常数项，加随机误差。

但是这种方法受到一定的限制：
1，必须具有自相关，如果自相关系数®小于0.5，则不宜采用，否则预测结果极不准确。
2，只适用于预测与自身前期相关的现象，即受自身历史因素影响较大的现象，如矿的开采量，各种自然资源产量等；对于受外因影响较大的现象，不宜采用自回归，而应改采可纳入其他变数的向量自回归模型。
3，适用于宽平稳数据，其特性是序列的统计特性不随时间的平移而变化，即均值和协方差不随时间的平移而变化。

差分与非平稳序列

在AR模型中，无法有效预测不平稳的序列。下面的序列通过目视，基本能认为是不平稳的。我们可以使用差分来平稳序列。

差分

**非平稳序列往往一次到两次差分之后，就会变成平稳序列。**什么是差分呢？差分,一般应用与时序分析中,其实就是下一个数值 ,减去上一个数值 。

一阶差分：连续间隔相同两项之差，用下一个数值，减去上一个数值 ，就叫“一阶差分”。

二阶差分：一阶差分的基础上再进行一次差分。

值得注意的一点是，每一次差分之后，都会少一个序列值

from numpy import diff
import matplotlib.pyplot as plt
import random
x=[]
y=[]
for i in range(10):
    x.append(i+1)
    y.append(random.random())
    
y1=diff(y,1)
y2=diff(y,2)

plt.subplot(131)
plt.plot(x,y)

plt.subplot(132)
plt.plot(x[0:9],y1)

plt.subplot(133)
plt.plot(x[0:8],y2)

plt.show()
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检验不平稳

除了目视这个主观检验的方法外，我们如何通过数学方法来判定一个序列的平稳性呢？可以通过ADF检验平稳性。使用Python的tseries库引入adf函数。

当没有做差分的时候，p-value是0.47，原假设是非平稳时间序列。p-value>0.05的时候，在95%的置信度下，我们不能拒绝原假设的，所以我们不能说xt原序列是时序平稳的，但是在一阶差分和二阶差分后，p值小于0.05，则可以拒绝原假设，认为序列平稳。

移动平均模型

移动平均法

移动平均法是根据时间序列数据逐次运行，每次都计算一定数目的时序平均数， 以一组平均值反映长期趋势。如下面的股票行情曲线的趋势线：

当时间序列的数值由于受周期变动和不规则变动的影响，起伏较大，不易显示出发展趋势时，可用移动平均法，消除这些因素的影响，显示出事件的发展方向与趋势(即趋势线)，然后依趋势线分析预测序列的长期趋势。移动平均法有简单移动平均法，加权移动平均法，趋势移动平均法等。

MA模型

与自回归模型不同，移动平均是以过去的残差项（也就是白噪声）来做线性组合，而AR模型是以过去的观察值来做线性组合。
MA模型的出发点是通过组合残差项来观察残差的振动。

ps：为什么，残差要是白噪声
白噪声就是一系列独立分布的正态序列：序列无相关性，无趋势性，有随机性，它服从均值为0，方差为σ2的正态分布，白噪声的每一个时序点都是服从正态分布的。

拿到数据后一般先进行平稳性检验，然后白噪声检验，如果一个序列是平稳的，那么下面我们就要判断数据是否是白噪声，白噪声没有研究的意义。

得到白噪声序列，就说明时间序列中有用的信息已经被提取完毕了，剩下的全是随机扰动，是无法预测和使用的，残差序列如果通过了白噪声检验，则建模就可以终止了，因为没有信息可以继续提取。如果残差不是白噪声，就说明残差中还有有用的信息，需要修改模型或者进一步提取。

ARMA模型

ARIMA

ARIMA(p，d，q)中，AR是“自回归”，MA为“滑动平均”;即为差分整合移动平均自回归模型。

三个参数：p为自回归阶数；d为使之成为平稳序列所做的差分次数（阶数）；q为滑动平均阶数。

建模方法

1，获取时间序列数据，处理为1维向量。

2，数据预处理
平稳性检验和白噪声检验。能够适用ARMA模型进行分析预测的时间序列必须满足的条件是平稳非白噪声序列。

平稳性检验一般通过时序图和相关图来检验时间序列的平稳性。对于非平稳时间序列中若存在增长或下降趋势，则需要进行差分处理然后进行平稳性检验直至平稳为止。其中，差分的次数就是模型ARIMA(p,d,q)的阶数，理论上说，差分的次数越多，对时序信息的非平稳确定性信息的提取越充分，但是从理论上说，差分的次数并非越多越好，每一次差分运算，都会造成信息的损失，所以应当避免过分的差分，一般在应用中，差分的阶数不超过2。

2，模型定阶，在确定了模型的类型之后，还需要知道模型的阶数p和q，采用 自相关系数ACF 图、偏自相关系数PAC 图，AIC 准则（赤道信息量准则）和 BIC 准则（贝叶斯准则）相结合的方式确定。
ACF 指任意时间 t（t=1,2,3…n)的 序列值Xt 与其自身的滞后值（这里取滞后一阶）Xt-1之间的线性关系。ACF图就是指以滞后值（xt-1）为x轴，自相关系数（Xt与Xt-1的相关系数值）为y轴画出的图.

①在尝试不同模型后，选择找出最佳的模型（AIC，BIC最小）
②通过查看图来确定p和q。链接: link.

3，参数估计对模型的参数进行估计的方法通常有相关矩估计法、最小二乘估计以及极大似然估计等。

4，模型的验证模型的验证主要是验证模型的拟合效果

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