拓扑学习系列（1）拓扑球与拓扑环面与同胚

• 拓扑球与拓扑环面

在拓扑学中，"Topological Sphere" 和 "Topological Torus" 是两种不同的拓扑空间，它们具有特定的拓扑性质和几何特征。

1. Topological Sphere（拓扑球）：

   • 拓扑球是一个二维曲面，类似于球体的表面。在拓扑学中，拓扑球通常表示为单位球面（即单位球的表面），它是一个封闭、连续、无边界的曲面。
   • 拓扑球是一个欧几里德空间中的特殊曲面，具有类似于球体的性质，例如局部同胚于二维欧几里德空间。
   • 拓扑球的特点包括：没有边界、没有孔洞、是单连通的（任意两点之间存在一条连续曲线）。

2. Topological Torus（拓扑环面）：

   • 拓扑环面是一个二维曲面，类似于甜甜圈表面的形状。在拓扑学中，拓扑环面是通过将一个矩形的对边进行合并而得到的。
   • 拓扑环面具有环状的拓扑结构，其特点是具有一个孔洞。这个孔洞穿过整个曲面，使得曲面呈环状。
   • 拓扑环面的特点包括：具有一个孔洞、是双连通的（存在两个不同的环）。

因此，Topological Sphere（拓扑球）是一个没有孔洞的曲面，而Topological Torus（拓扑环面）是具有一个孔洞的曲面。拓扑学研究的是空间的连通性和变形性质，因此拓扑球和拓扑环面在拓扑学中具有不同的重要性和特征。

• 同胚

同胚（homeomorphism）可以用数学公式表示如下：

设 XX 和 YY 是两个拓扑空间，一个从 XX 到 YY 的映射 f: X \rightarrow Yf:X→Y 被称为一个同胚映射，如果满足以下条件：

1. ff 是双射的（一一对应）：对于任意 y \in Yy∈Y，存在唯一的 x \in Xx∈X 使得 f(x) = yf(x)=y，并且对于任意 x \in Xx∈X，存在唯一的 y \in Yy∈Y 使得 f(x) = yf(x)=y。

2. ff 是连续的：对于 XX 中的任意开集 UU，其原像 f^{-1}(U)f−1(U) 在 XX 中也是一个开集。换句话说，ff 保持拓扑空间中开集的性质。

3. ff 的逆映射 f^{-1}f−1 也是连续的：同样地，对于 YY 中的任意开集 VV，其原像 f(V)f(V) 在 YY 中也是一个开集。

数学上可以表示为：

如果存在一个映射 f: X \rightarrow Yf:X→Y 和其逆映射 f^{-1}: Y \rightarrow Xf−1:Y→X 满足上述条件，那么 XX 和 YY 是同胚的，记作 X \cong YX≅Y。

• 拓扑球与拓扑面不同胚

拓扑学中的拓扑球（球面）和拓扑环面（环面）是不同胚的。尽管它们在几何上有些相似，但拓扑球和拓扑环面在拓扑学上具有不同的性质。

拓扑球是一个没有孔洞的二维曲面，而拓扑环面是一个具有一个孔洞的二维曲面。由于拓扑球和拓扑环面的拓扑结构不同，它们不是同胚的。

具体来说，拓扑球是单连通的（任意两点之间存在一条连续曲线），而拓扑环面是双连通的（存在两个不同的环）。这一差异导致拓扑球和拓扑环面无法通过同胚映射进行一一对应。

因此，在拓扑学中，拓扑球和拓扑环面被认为是不同的拓扑空间，它们具有不同的拓扑性质和特征。