线性代数的学习和整理3：标量，向量和张量的定义和对比_张量和向量的区别

目录

1 标量 scalar

2 向量 /矢量 vector

2.1 什么是向量（直观）

2.2 什么是向量（严格定义）

2.3 向量如何表示？在向量空间的表示方法

3 矩阵(matrix)

3.1 矩阵的定义

3.2 矩阵和向量的关系

3.3  方阵

4 ​张量(tensor)：向量，矩阵都可以看成张量

4.1 张量的定义

4.2 更多维度的张量，举例子

4.3 张量的图形表示

5 具体例子说明 向量，矩阵，张量

5.1 向量

5.2 矩阵

5.3 张量

5.4 常见的写法区别

5.5 一个比较灵活的实际例子

5.5.1 上面这个表直接看成一个5阶张量是没问题的

5.5.2 强行合并一些列，把总列数表为3列

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1 标量 scalar

标量 scalar：

• 标量就是一个单独的数！
• 标量还有一种更深刻的说法，就是线性变换时不会发生变化的量. 

数有很多种：

1. 自然数
2. 整数（正负）
3. 有理数（包含整数，无限循环小数 or =整数/整数）
4. 实数（包含有理数和无理数）
5. 复数（包含实数和虚数）

2 向量 /矢量 vector

2.1 什么是向量（直观）

• 向量就是一组数字，而不是一个单个数字，α={x1,x2,x3....xn}

向量vector也叫矢量

• 表示一组n个数构成的有序排列的数
• 向量也可以认为就是 数组list，比如[1,2,3,4,5]

向量的几何表示

• 在各种向量空间里的二维图，三维图里，就是空间里的点（其终点代表了从原点出发的向量）
• 向量，可以认为是带方向的一组数，方向就是 数组里的数字的排序

1. 竖着的叫列向量， α={x1,x2,x3....xn}
2. 横着的为行向量，  αT={x1,x2,x3....xn}

2.2 什么是向量（严格定义）

• 严格定义：在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量），指具有大小（magnitude）和方向的量。
• 它可以形象化地表示为带箭头的线段。

1. 箭头所指：代表向量的方向；
2. 线段长度：代表向量的大小。

• 与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。

2.3 向量如何表示？在向量空间的表示方法

• 在一般的向量空间，向量是指从原点出发的一条射线线段
• 线段起点一定是原点，线段终点是向量的内容(x1,x2) 或（x1,x2,x3）或其他，这同时也是向量在这个向量空间的坐标

因此这种向量空间特点是

• 向量空间一定有原点
• 每个向量都是从原点出发的射线线段，用终点坐标即可代表向量
• 不存在2个向量平行的关系，最多是2个向量在同一条直线上

3 矩阵(matrix)

3.1 矩阵的定义

严格定义：矩阵，数学术语。在数学中，矩阵（Matrix）是一个按照长方阵列排列的复数或实数集合 ，最早来自于方程组的系数及常数所构成的方阵。这一概念由19世纪英国数学家凯利首先提出。

• 矩阵是一个二维数组，其中的每一个元素由两个索引来决定 A(i,j)
• 很多编程语言里把每1行看成1个对象，每1列看成属性/特征
• 可以说，矩阵就是2维数组
• 矩阵A(i,j)   比如 ( a11,a12 ; a21,a22 )

3.2 矩阵和向量的关系

观点1

• 基础观点
• 矩阵是由多个向量构成的，一般认为是多个列向量（基）构成的
• 矩阵就是一个在N维度空间里的坐标，这个坐标包含多个向量

观点2

• 计算时,可以认为向量就是一种特殊的矩阵
• 列向量就是列矩阵
• 行向量就是行矩阵

3.3  方阵

• 矩阵里，行数=列数的矩阵叫做方阵
• 方阵有很多很好的特殊属性

4 ​张量(tensor)：向量，矩阵都可以看成张量

4.1 张量的定义

• 可以说，张量就是2维数组
• 矩阵A(i,j,k)  比如 ( a11,a12 ; a21,a22 ; a31,a32 )
• 张量的定义

1. 一个数字的标量，称为0阶张量
2. 一个数组的这种向量，(1,2)，称为1阶张量       （相当于1个维度）
3. 2个数组的这种矩阵，比如(1,2;1,1)，称为2阶张量 （相当于2个维度）
4. 超过二维的数组，如一个三维的A(i,j,k)，就称为3阶张量

4.2 更多维度的张量，举例子

• 3维=时间序列
• 4维=图像
• 5维=视频

4.3 张量的图形表示

下面用的是网上的2张图，不是我自己的

5 具体例子说明 向量，矩阵，张量

先把维度的概念界定清晰

• 头脑里要明白，空间的维度是一种3D世界的空间维度概念
• 头脑里要明白，向量/矩阵/张量的维度是一种向量空间/张成空间的维度概念

1. 在向量空间/张成空间里，每个向量都 =  一个基于原点和基的一个射线线段/一个点/一个终点的坐标值数组。

5.1 向量

• 向量就是一组数
• 单位向量本身维度是指，向量里标量的个数，这个维度可以很大。
• 但是在空间上就是一根线，在空间上是一维的
• 也就是说空间上1维的向量，可能是N维向量
• 1维向量 

1. (0) 
2. [3]

• 2维向量 

1. (0,1) 
2. [4,5]

• 3维向量

1. (0,1,2) 
2. [3,4,5]

• N维（有限维度，可以很大很大）

1.  (1,2,3...... 1001)

5.2 矩阵

• 矩阵是数组的数组，矩阵是一种数组的嵌套，但是只能嵌套2层数组/向量
• 矩阵=[数组] =[[] , [] ,....]
• 矩阵内部的行列数n*m, 一般来说矩阵的维度dim=矩阵的秩<=n/m
• 但是矩阵在空间上看是二维的

1. (0,1,2; 3,4,5) 
2.  [ [1,2,3...... 1001] , [1,2] ]

5.3 张量

• 张量在空间上看是3维，4维，或者更大
• 从空间上，很难用图形描述了

1. 3阶标量 [ [1,0,0] [0,1,0] [0,0,1] ]
2. 4阶标量 [ [1,0,0] [0,1,0] [0,0,1] [0,0,1] ]
3. ...

5.4 常见的写法区别

• 注意写法：

1. 数量→逗号  一个维度的数量
2. 维度→分号;  分隔不同的维度

5.5 一个比较灵活的实际例子

• 下表仍然是一个表现上是1个2维表，其实也可以看成N维的张量？
• 可以灵活设计，做成2维的，或者3维度的都可以，因为可以选择把一部分属性，合并成同一个维度

5.5.1 上面这个表直接看成一个5阶张量是没问题的

• 上面这个表直接看成一个5阶张量是没问题的
• 空间上不好表现
• 比如可以花成5条坐标轴，但肯定不是正交那种样式了

5.5.2 强行合并一些列，把总列数表为3列

• 留下ID，时间，属性这3列，可以画成一个 3D坐标系
• 看的视角：ID，时间，属性（包括很多子属性，每个子属性1列）
• 也可以这么看：x为ID，y为property 意味着，ID-价格，ID-数量，ID-颜色，，，，可以组成N张二维表，这些二维表可以叠在一起。形成了Z轴