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随机向量的统计描述_二阶统计

二阶统计

由随机变量组成的向量称为随机向量,在信号处理、自动控制、通信、电子工程、神经网络等应用中,观测数据和加性噪声通常取随机变量。

先介绍随机向量的一阶统计量,再介绍二阶统计量,最后介绍一阶与二阶的关系与相关性质。

均值向量

一个 m × 1 m\times 1 m×1的随机向量 x ⃗ ( ξ ) = [ x 1 ( ξ ) , ⋯   , x m ( ξ ) ] T \vec{x} (\xi) =[x _{1}(\xi),\cdots ,x_{m}(\xi) ]^{\mathrm{T} } x (ξ)=[x1(ξ),,xm(ξ)]T,令随机变量 x i ( ξ ) x_{i}(\xi) xi(ξ)的均值 E [ x i ( ξ ) ] = μ i E[x_{i}(\xi)]=\mu _{i} E[xi(ξ)]=μi,则随机向量的数学期望称为均值向量,记作 μ ⃗ x \vec{\mu} _{x} μ x,定义为 μ ⃗ x = E [ x ⃗ i ( ξ ) ] = [ E [ x 1 ( ξ ) ] ⋮ E [ x m ( ξ ) ] ] = [ μ 1 ⋮ μ m ] \vec{\mu} _{x}=E[\vec{x}_{i}(\xi)]=

[E[x1(ξ)]E[xm(ξ)]]
=
[μ1μm]
μ x=E[x i(ξ)]= E[x1(ξ)]E[xm(ξ)] = μ1μm
上式表明,均值向量的元素是随机向量各个元素的均值。

相关矩阵与协方差矩阵

两个向量 x ⃗ ∈ C m × 1 \vec{x} \in {\Bbb C}^{m\times 1} x Cm×1 y ⃗ ∈ C n × 1 \vec{y} \in {\Bbb C}^{n\times 1} y Cn×1的外积是一个 m × n {m\times n} m×n的复矩阵,记作 x ⃗ ∘ y ⃗ \vec{x}\circ\vec{y} x y ,定义为 x ⃗ ∘ y ⃗ = x ⃗ y ⃗ H \vec{x}\circ\vec{y}=\vec{x}\vec{y}^{\mathrm{H} } x y =x y H

  1. 随机向量的自相关矩阵定义为该向量与自身外积的数学期望 R x = E [ x ⃗ ( ξ ) x ⃗ H ( ξ ) ] = [ r 11 ⋯ r 1 m ⋮ ⋱ ⋮ r m 1 ⋯ r m m ] \mathbf{R} _{x} = E[\vec{x}(\xi)\vec{x}^{\mathrm{H} } (\xi) ]=
    [r11r1mrm1rmm]
    Rx=E[x (ξ)x H(ξ)]= r11rm1r1mrmm
    式中,主对角线上的元素 r i i , i = 1 , ⋯   , m r_{ii},i=1,\cdots,m rii,i=1,,m表示随机变量 x i ( ξ ) x _{i}(\xi) xi(ξ)的自相关函数,定义为 r i i = E [ ∣ x i ( ξ ) ∣ 2 ] , i = 1 , ⋯   , m r_{ii}=E[\left | x _{i}(\xi) \right |^{2} ],i=1,\cdots,m rii=E[xi(ξ)2]i=1,,m r i j r_{ij} rij表示随机变量 x i ( ξ ) x _{i}(\xi) xi(ξ) x j ( ξ ) x _{j}(\xi) xj(ξ)之间的互相关函数,定义为 r i j = E [ x i ( ξ ) x j ∗ ( ξ ) ] , i , j = 1 , ⋯   , m , i ≠ j r_{ij}=E[ x _{i}(\xi) x _{j}^{*} (\xi) ],i,j=1,\cdots,m,i\ne j rij=E[xi(ξ)xj(ξ)]i,j=1,,mi=j可以看出自相关矩阵 R x \mathbf{R} _{x} Rx是复共轭对称的,即 H e r m i t i a n Hermitian Hermitian矩阵。
  2. 随机向量 x ⃗ ( ξ ) \vec{x}(\xi) x (ξ)自协方差矩阵记为 C x \mathbf{C} _{x} Cx,定义为 C x = C o v ( x ⃗ , x ⃗ ) = E { [ x ⃗ ( ξ ) − μ ⃗ x ] [ x ⃗ ( ξ ) − μ ⃗ x ] H } = [ c 11 ⋯ c 1 m ⋮ ⋱ ⋮ c m 1 ⋯ c m m ] \mathbf{C} _{x} =\mathrm{Cov} (\vec{x} ,\vec{x} )=E\left \{[\vec{x}(\xi)-\vec{\mu} _{x}][\vec{x}(\xi)-\vec{\mu} _{x}]^{\mathrm{H} } \right \} =
    [c11c1mcm1cmm]
    Cx=Cov(x ,x )=E{[x (ξ)μ x][x (ξ)μ x]H}= c11cm1c1mcmm
    式中,主对角线的元素 c i i = E [ ∣ x i ( ξ ) − μ i ∣ 2 ] , i = 1 , ⋯   , m c_{ii}=E[\left | x _{i}(\xi)-\mu _{i} \right |^{2} ],i=1,\cdots,m cii=E[xi(ξ)μi2]i=1,,m即随机变量 x i ( ξ ) x _{i}(\xi) xi(ξ)的方差 σ i 2 , c i i = σ i 2 \sigma_{i}^{2},c_{ii}=\sigma_{i}^{2} σi2cii=σi2。而非主对角线上的元素 c i j = E { [ x i ( ξ ) − μ i ] [ x j ( ξ ) − μ j ] ∗ } = E [ x i ( ξ ) x j ∗ ( ξ ) ] − μ i μ j ∗ = c j i ∗ c_{ij}=E\left \{[x_{i} (\xi)-\mu_{i}][x_{j} (\xi)-\mu_{j}]^{* } \right \} =E[ x _{i}(\xi) x _{j}^{*} (\xi) ]-\mu_{i}\mu_{j}^{*} =c_{ji}^{*} cij=E{[xi(ξ)μi][xj(ξ)μj]}=E[xi(ξ)xj(ξ)]μiμj=cji表示随机变量 x i ( ξ ) x _{i}(\xi) xi(ξ) x j ( ξ ) x _{j}(\xi) xj(ξ)之间的协方差。可以看出,自协方差矩阵也是 H e r m i t i a n Hermitian Hermitian矩阵。

自协方差矩阵也可以称为方差矩阵,用 V a r ( x ⃗ ) \mathrm{Var} \left ( \vec{x} \right ) Var(x )表示,即有 V a r ( x ⃗ ) = E { [ x ⃗ ( ξ ) − μ ⃗ x ] [ x ⃗ ( ξ ) − μ ⃗ x ] H } \mathrm{Var} \left ( \vec{x} \right )=E\left \{[\vec{x}(\xi)-\vec{\mu} _{x}][\vec{x}(\xi)-\vec{\mu} _{x}]^{\mathrm{H} } \right \} Var(x )=E{[x (ξ)μ x][x (ξ)μ x]H}显然, V a r ( x ⃗ ) = C o v ( x ⃗ , x ⃗ ) \mathrm{Var} \left ( \vec{x} \right )=\mathrm{Cov} (\vec{x} ,\vec{x} ) Var(x )=Cov(x ,x )

  1. 自相关矩阵和自协方差矩阵之间存在如下关系 C x = R x − μ ⃗ x μ ⃗ x H \mathbf{C} _{x}=\mathbf{R} _{x} -\vec{\mu} _{x}\vec{\mu} _{x}^{\mathrm{H} } Cx=Rxμ xμ xH
  2. 推广自相关矩阵的概念,可以得到随机向量 x ⃗ ( ξ ) \vec{x}(\xi) x (ξ) y ⃗ ( ξ ) \vec{y}(\xi) y (ξ)互相关矩阵 R x y = E [ x ⃗ ( ξ ) y ⃗ H ( ξ ) ] = [ r x 1 , y 1 ⋯ r x 1 , y m ⋮ ⋱ ⋮ r x m , y 1 ⋯ r x m , y m ] \mathbf{R} _{xy} =E[\vec{x}(\xi)\vec{y}^{\mathrm{H} } (\xi) ]=
    [rx1,y1rx1,ymrxm,y1rxm,ym]
    Rxy=E[x (ξ)y H(ξ)]= rx1,y1rxm,y1rx1,ymrxm,ym
    式中, r x i , y i = E [ x i ( ξ ) y j ∗ ( ξ ) ] r_{x_{i},y_{i}}=E[ x _{i}(\xi) y _{j}^{*} (\xi) ] rxi,yi=E[xi(ξ)yj(ξ)]是随机变量 x i ( ξ ) x _{i}(\xi) xi(ξ) y i ( ξ ) y _{i}(\xi) yi(ξ)之间的互相关。

r x i , y i = 0 r_{x_{i},y_{i}}=0 rxi,yi=0,即它们的互相关等于0,则称两个随机变量 x i ( ξ ) x _{i}(\xi) xi(ξ) y i ( ξ ) y _{i}(\xi) yi(ξ)正交。
R x y = 0 m × n \mathbf{R} _{xy} =\mathbf{0} _{m\times n} Rxy=0m×n,则称两个随机向量 x ⃗ ( ξ ) \vec{x}(\xi) x (ξ) y ⃗ ( ξ ) \vec{y}(\xi) y (ξ)正交。

  1. 推广自协方差矩阵的概念,可以得到随机向量 x ⃗ ( ξ ) \vec{x}(\xi) x (ξ) y ⃗ ( ξ ) \vec{y}(\xi) y (ξ)互协方差矩阵 C x y = C o v ( x ⃗ , y ⃗ ) = E { [ x ⃗ ( ξ ) − μ ⃗ x ] [ y ⃗ ( ξ ) − μ ⃗ y ] H } = [ c x 1 , y 1 ⋯ c x 1 , y m ⋮ ⋱ ⋮ c x m , y 1 ⋯ c x m , y m ] \mathbf{C} _{xy} =\mathrm{Cov} (\vec{x} ,\vec{y} )=E\left \{[\vec{x}(\xi)-\vec{\mu} _{x}][\vec{y}(\xi)-\vec{\mu} _{y}]^{\mathrm{H} } \right \} =
    [cx1,y1cx1,ymcxm,y1cxm,ym]
    Cxy=Cov(x ,y )=E{[x (ξ)μ x][y (ξ)μ y]H}= cx1,y1cxm,y1cx1,ymcxm,ym
    式中, c x i , y i = E { [ x i ( ξ ) − μ x i ] [ y j ( ξ ) − μ y j ] ∗ } c_{x_{i},y_{i}}=E \left \{ [x_{i} (\xi)-\mu_{x_{i} }][y_{j} (\xi)-\mu_{y_{j}}]^{* } \right \} cxi,yi=E{[xi(ξ)μxi][yj(ξ)μyj]}是随机变量 x i ( ξ ) x _{i}(\xi) xi(ξ) y i ( ξ ) y _{i}(\xi) yi(ξ)之间的互协方差。

比较互相关矩阵和互协方差矩阵的定义可知,若两个随机向量 x ⃗ ( ξ ) \vec{x}(\xi) x (ξ) y ⃗ ( ξ ) \vec{y}(\xi) y (ξ)均具有零均值向量,则其互相关矩阵与互协方差矩阵等价。因此对于具有零均值向量的两个随机向量而言,它们之间的统计不相关与正交等价。

  1. 互相关矩阵与互协方差矩阵之间存在如下关系 C x y = R x y − μ ⃗ x μ ⃗ y H \mathbf{C} _{xy}=\mathbf{R} _{xy} -\vec{\mu} _{x}\vec{\mu} _{y}^{\mathrm{H} } Cxy=Rxyμ xμ yH
  2. 可以证明,一个随机向量的自相关矩阵和自协方差矩阵均为 H e r m i t i a n Hermitian Hermitian矩阵,但两个随机变量 x ⃗ ( ξ ) \vec{x}(\xi) x (ξ) y ⃗ ( ξ ) \vec{y}(\xi) y (ξ)(即使维数相同)的互相关矩阵和互协方差矩阵均不是复共轭对称矩阵。
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