高等代数(八)-线性变换07：矩阵的有理标准形

作者：繁依Fanyi0 | 2024-03-05 16:40:52

踩

§ 7 矩阵的有理标准形
前一节中证明了复数域上任一矩阵 $\boldsymbol{A}$
可相似于一个若尔当形矩阵, 这一节将对任意数域 $P$ 来讨论类似的问题.
我们证明 $P$ 上任一矩阵必相似于一个有理标准形矩阵.
定义 8 对数域 $P$ 上的一个多项式
$\dot{d}(\dot{\lambda})=\dot{\lambda^{n}}+a_{1} \lambda^{n-1}+\cdots+a_{n},$
称矩阵
$\boldsymbol{A}=\left($

\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & \dots & 0 & - a_{n} \\ 1 & 0 & \dots & 0 & - a_{n - 1} \\ 0 & 1 & \dots & 0 & - a_{n - 2} \\ ⋮ & ⋮ & ⋮ & ⋮ \\ 0 & 0 & \dots & 1 & - a_{1} \end{array}

$\begin{array}{ccccc} 0 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n} \\ 1 & 0 & \cdots & 0 & -a_{n-1} \\ 0 & 1 & \cdots & 0 & -a_{n-2} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 1 & -a_{1} \end{array}$ \right)

A = 010 ⋮ 0 001 ⋮ 0 \dots \dots \dots \dots 000 ⋮ 1 - a_{n} - a_{n - 1} - a_{n - 2} ⋮ - a_{1}

为多项式

d(\lambda)

的友矩阵.
容易验证,

\boldsymbol{A}

的 (即特征矩阵

\lambda \boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}

的) 不变因子是

\underbrace{1,1, \cdots,}_{n=1 \uparrow}, d(\lambda)

(见习题 3 ).定义
9 准对角矩阵

\begin{array}{llll} A_{1} \\ A_{2} \\ ⋱ \\ A_{*} \end{array}

其中

A_{i}

分别是数域

P

上某些多项式

d_{i}(\lambda)(i=1,2, \cdots, s)

的友矩阵, 且满足

d_{i}(\lambda)

\left|d_{2}(\lambda)\right| \cdots \mid d_{1}(\lambda)

, 称为

P

上的有理标准形矩阵.
引理 (2) 中矩阵

\boldsymbol{A}

的不变因子为

\cdots, 1, d_{1}(\lambda), d_{2}(\lambda), \cdots, d_{,}(\lambda)

,
其中 1 的个数等于

d_{1}(\lambda), d_{2}(\lambda), \cdots, d_{s}(\lambda)

的次数之和减去

s

.
证明

\begin{array}{llll} λ E_{1} - A_{1} \\ λ E_{2} - A_{2} \\ ⋱ \\ λ E_{,} - A_{4} \end{array}

由于每个

\lambda E_{i}-A_{i}

的不变因子为

\cdots, 1, d_{i}(\lambda)

, 故可用初等变换把它变成

\begin{array}{llll} 1 \\ 1 \\ ⋱ \\ d_{i} (λ) \end{array}

声明：本文内容由网友自发贡献，不代表【wpsshop博客】立场，版权归原作者所有，本站不承担相应法律责任。如您发现有侵权的内容，请联系我们。转载请注明出处：https://www.wpsshop.cn/w/繁依Fanyi0/article/detail/192421