《统计学》学习笔记之参数估计_参数估计的基本概念和基本原理

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参数估计

参数估计是推断统计的重要内容之一。它是在抽样及抽样分布的基础上，根据样本统计量来推断所关心的总体参数。

参数估计的基本原理

• 估计量与估计值

参数估计就是用样本统计量去估计总体的参数。
在参数估计中，用来估计总体参数的统计量为估计量。
而根据一个具体的样本计算出来的估计量的数值称为估计值。

• 点估计

点估计就是用样本统计量的某个取值直接作为总体参数的估计值。

• 区间估计

区间估计是在点估计的基础上，给出总体参数估计的一个区间范围，该区间通常由样本统计量加减估计误差得到。

与点估计不同，进行区间估计时，根据样本统计量的抽样分布可以对样本统计量与总体参数的接近程度给出一个概率度量。

• 置信区间

在区间估计中，由样本统计量所构造的总体参数的估计区间称为置信区间。其中区间的最小值称为置信下限，最大值称为置信上限。

由于统计学家在某种程度上确信这个区间会包含真正的总体参数，所以给它取名为置信区间。

如果抽取了许多不同的样本，比如说抽取100个样本，根据每一个样本构造一个置信区间，这样，由100个样木构造的总体参数的100个置信区间中，有95%的区间包含了总体参数的真值，而5%则没包含，则95%这个值称为置信水平。

• 置信水平

如果将构造置信区间的步骤重复多次，置信区间中包含总体参数真值的次数所占的比例称为置信水平，也称为置信度或置信系数。

注意！ 置信度为95%，并不能误以为真值落在构造的置信区间的概率为95%。因为总体真值是一个常数，而不是一个随机变量。总体真值要么落在置信区间内，要么不在置信区间内，这里并不涉及概率。

评价估计量的标准

究竟用样本的哪种估计量作为总体参数的估计呢?自然要用估计效果最好的那种估计量。什么样的估计量才算是一个好的估计量呢?
这就需要一定的评价标准，主要有无偏性、有效性、一致性。

• 无偏性

无偏性是指估计量抽样分布的数学期望等于被估计的总体参数。

无偏和有偏图示：

• 有效性

一个无偏的估计量并不意味着它就非常接近被估计的参数，它还必须与总体参数的离散程度比较小。有效性是指对同一总体参数的两个无偏估计量，有
更小标准差的估计量更有效。

在无偏估计的条件下，估计量的方差越小，估计就越有效。

两个无偏估计量的抽样分布：

• 一致性

一致性是指随着样本量的增大，估计量的值就越来越接近被估计总体的参数。换言之，一个大样本给出的估计量要比一个小样本给出的估计量更接近总体的参数。

两个不同样本量的样本统计量的抽样分布：

一个总体参数的区间估计

两个总体参数估计