8-23 24 Rscode和BCHcode_rs code

RScode

伽罗华域
伽罗华域
1、有限域GF§：
有限域GF§，其中p为素数。GF§里面的加法和乘法与一般的加法和乘法差不多，区别是结果需要mod p，以保证结果都是域中的元素。GF§的加法和乘法单位元分别是 0和1。
GF§加法是(a+b) mod p，乘法是(a*b)mod p。

对于域中的乘法，当p为素数时，才能保证集合中的所有的元素都有乘法逆元(0除外)。即对于域中的任一个元素a，总能在域中找到另外一个元素b，使得a*b mod p 等于1。

说明：假如p等于10，其乘法单位元为1。对于元素2，找不到一个数a，使得2*a mod 10 等于1，即2没有乘法逆元。这时，在域上就不能进行除2运算。

2、有限域GF(2^w)：
GF§中p必须是一个素数，才能保证集合中的所有元素都有加法和乘法逆元(0除外)。但实际应用中，很多场合需要 0到255这256个数字能组成一个域。但256不是素数，小于256的最大素数为251，如果直接把大于等于251的数截断为250，则会丢失一部分数据。
因此引入了GF(p^{w)其中p为素数，通常取p=2。计算机领域中经常使用的是GF(2}8)，8刚好是一个字节的比特数。为了保证单位元性质，GF(2^w)上的加法运算和乘法运算，不再使用一般的加法和乘法，而是使用多项式运算。
伽罗华域是由 2m 个符号及相应的加法、乘法运算组成的域，记为 GF（2m），在这个域中，任何运算的结果仍是这个域中的元素。 本原多项式指能除尽 xw+1 且 w=2m-1 的 m 次既约多项式，对不同的 m，都对应一个本原多项式，从本原多项式就可以得到 GF（2m）域的所有元素。

构造GF(2^3)域的本原多项式假定为

α定义为 = 0的根，即

α^3＋α＋1 = 0
和 α^3 = α＋1

GF(23)中的元素可计算如下


加法例：α0＋α3 = 001＋011

= 010 = α1

减法例：与加法相同

乘法例：α5·α4 = α(5＋4)mod7

= α2

除法例：α5/α3 = α2

α^3/α ^5 = α ^－2

= α^(－2＋7)

= α5

取对数：log(α^5) = 5

这些运算的结果仍然在GF(2^3)域中。

RS码编码原理
设信息组为 A1，A2，…，当生成多项式的根为 a 时，RS码可表示为

编码的关键是产生监督码元，下面结合 RS（7，5）码的编码框图（如图 1），通过运算具体阐述一下 RS 码的监督符号的生成过程。 由图 1 可知，输入码流为每组 5 个符号：B4，B3，B2，B1，B0。 其生成多项式 G（x）=（x+1）（x+a）且G（a）=0，故其 RS 码可表示为（Q1，Q0 为监督符号）

由式（2）可得

式（3）中两方程相加得

由表 1、表 2 可解得（其中 a7=1）
同理

RS 码的编码过程如下：
1）起始时， 全部寄存器置 0，K1 闭合，K2 连接输出端；
2）B4，B3，B2，B1，B0 连续进入电路，同时送往输出端；
3）一旦 5 个符号全部进入电路，开关 K2 连接到监督字符的位置，K1 断开；
每个信息符号分别在不同的乘法单元中进行伽罗华域乘法运算后进行模二加， 产生监督符号 Q1，Q0，紧随着信息位送往输出。

RS 码纠错原理
接收端收到 RS 码后，通过信息位和 2 个监督码字构成的校正子 S1，S2 可进行纠错。 若 S1=0，S2=0 则表示无误码，若 S1≠0，S2≠0，则表示有误码。
若传输中有且仅有一组错误， 假设仅 B0 组有错，这时 B0=B0+B0′，则校正子方程为

即 S2=aS1 。
同理，若 B1 组有错，则 S2=a2S1；若 B2 组有错，则 S2=
a3S1；若 B3 组有错，则 S2=a4S1；若 B4 组有错，则 S2=a5S1。
由上式可见若一组符号有错则均能进行纠错，若 S1，
S2 不满足上述关系，且 S1，S2 均不为 0，则只能检错 2 组，另外，当 B4，B3，B2，B1，B0 各自有自检错能力时，通过解校正子方程，能纠错两组误码。
例如，B1，B0 两组误码，则校正子方程为

RS信道编码（matlab）

%BPSK调制在AWGN信道下，RS码
clear all
 
SNR=-10:10;
N=30000;      %消息比特个数
ber1=zeros(1,length(SNR));
 
n=7;
k=5;
T=1;                        %符号周期
fs=2;                     %每个符号的采样点数
% fc=2;                      %载波频率
ts=1/fs;                    %采样时间间隔
t=0:ts:T-ts;                %时间向量
 
msg=randi([0,1]
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