算法之前缀和详解_算法前缀

前缀和

前缀和就是求解一个数组的某个区间的数字之和， 下面直接简单举例

数组 a[5]={0, 1, 2 ,3 ,4 }

经过计算可以得到他的前缀和数组

b[5] = {0, 1, 3 ,6, 10}

简单观察可以发现前缀和数组是存在递推关系的

即：

b[ i ] = b[ i -1 ] + a[ i ]

下面回到问题所在的地方：求解某个区间的前缀和， 输入区间的L, R， 那么就相当于是对b[ i ] 数组做计算。

使用上面的数组 a 举例， 我们如果想要得到第三个数和第四个数的和（3+4 = 7）

那么使用数组 b 来计算的话， 就是 b[ 4 ] - b[ 2 ] 推广成公式可得到：

sum[ R, L ] = sum [ L ] - sum [ R - 1 ]

code

#include <iostream>
using namespace std;

int a[5]; 
int main(){
	a[0]=0;
 	for(int i = 1;i<5;i++)
 		cin>>a[i];
	for(int i=1;i<5;i++)
		a[i]+=a[i-1];
	cout<<"前缀和数组："<<endl;
	for(int i = 0;i<5;i++)
 		cout<<a[i]<<" ";
 	cout<<endl;
 	int l,r;
 	cin>>l>>r;
 	cout<<a[l]-a[r-1]<<endl;
} 
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这就是简单的一维前缀和的计算。

什么是差分？

在一维前缀和的基础上， 在一下增加难度。我们不是一开始就求区间内的元素和， 而是先对区间内的数进行m次简单的操作：
1、对区间内的元素全部加上 P
2、对区间内的元素全部减去 P
3、求区间的前缀和

如果使用最简单的直接暴力的话， 遍历次数太多了，可以采用差分来处理这样的问题：我们在新开一个数组B, 然后把每次的修改存储起来， 最后求浅醉和数组的时候，把存储的改变加上， 即可！！！

code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn=1e5+9;
int a[maxn],b[maxn];
int main(){
	int i,j,k,n,m,p;
	cin>>n>>m;
	// N 数组的长度， 得到这个数组 
	for(i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
	}
	// 对 L , R 这个区间进行 M 次的操作 
	for(i=1;i<=m;i++){
		int L,R,t;
		// T 代表着我们的操作。 
		cin>>t>>L>>R>>p;
		if(t==1){
			b[L]+=p;
			b[R+1]-=p; //仔细想想为什么b[R+1]要减去p 
		}
		else{
			b[L]-=p;
			b[R+1]+=p;
		}
	}
	
	// 打印 b 数组
	for(int i = 1; i<=n ;i++)
		cout<<b[i]<<" ";
	cout<<endl;
	 
	// 求前缀和的数组 
	int add=0;
	
	for(i=1;i<=n;i++){
		add+=b[i];
		a[i]+=a[i-1]+add;
	}
	
	// 打印 a 数组
	for(int i = 1; i<=n ;i++)
		cout<<a[i]<<" ";
	cout<<endl;
	
	// 打印答案 
	int x,y;
	cin>>x>>y;
	cout<<a[y]-a[x-1]<<endl;
}
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疑问：
1、为什么只对 b[L] 来相加 P 呢？
2、为什么对 b[R + 1] 要来减去 P 呢？

解释：
1、我们对数组求前缀和的时候， 是采用递推的形式来计算的， 就是计算当前位置的前缀和是利用上一个位置的结果，那这样的话， 所有位置的前缀和计算都会用到第一个位置的值， 这样的话， 我们只需要在 L 的位置存储我们的修改即可。

2、在解释1的基础上我们知道前缀和的计算都是依赖于之前的计算结果， 那么这样就会导致， L 以后的所有位置都是进行修改， 这和我们的要求是符合的， 即 R 之后的元素不需要在做出改变， 那么我们就可以在 R + 1 这个位置存储一个和 L 相反的改变， 把效果抵消即可。

样例解释

一共做出两次修改， 每次都是对 1 3 区间 加 2

存储修改的B数组： 4 0 0 -4 0

修改前的原数组： 1 2 3 4 5

修改后的原数组： 5 6 7 4 5

改变后的差分数组： 5 11 18 22 27

可以验证我们的思路是正确的！