数据结构 —— 堆_堆是一种特殊的完全二叉树

1.堆的概念及结构

堆是一种特殊的树形数据结构，称为“二叉堆”（binary heap）

看它的名字也可以看出堆与二叉树有关系：其实堆就是一种特殊的二叉树

堆的性质：

• 堆中某个结点的值总是不大于或不小于其父结点的值；
• 堆总是一棵完全二叉树

1.1大堆

大堆：

• 大堆的根节点是整个堆中最大的数
• 每个父节点的值都大于或等于其孩子节点的值
• 每个父节点的孩子之间并无直接的大小关系

1.2小堆 

小堆：

•  小堆的根节点是整个堆中最小的数
• 每个父节点的值都小于或等于其孩子节点的值
• 每个父节点的孩子之间并无直接的大小关系

 2.堆的实现

2.1使用数组结构实现的堆

由于堆是一个完全二叉树，所以堆通常使用数组来进行存储

使用数组的优点：

• 相较于双链表更加的节省内存空间
• 相较于单链表可以更好的算父子关系，并找到想要找的父子

2.2堆向上调整算法

堆的向上调整（也称为堆化、堆的修复或堆的重新堆化）是堆数据结构维护其性质的关键操作之一

 int arr = [ 15, 18, 19, 25, 28, 34, 65, 49, 37, 10]

小堆演示向上调整算法演示过程

向上调整的过程 ：将新插入的值与它的父亲相比，如果小则向上调整，调整完成后与新的父亲去比较，直到其值 >= 父亲的时候停止调整 

void Swaps(HPDataType* a, HPDataType* b) {
	HPDataType temp;
 
	temp = *a;
	*a = *b;
	*b = temp;
}
 
//向上调整(小堆)
//child是下标
 
void AdjustUp(HPDataType* a, int child) {
	assert(a);
 
	int parent = (child - 1) / 2;//算父亲节点的下标
 
    //向下调整主要逻辑
	while (child > 0)     //当调整至根节点时，已经调整至极限，不用在调整
	{
 
        //当父亲节点 > 孩子时，开始调整
		if (a[parent] > a[child])     
		{
 
			Swaps(&a[child],&a[parent]);    //交换
			child = parent;                //走到新的位置为新一轮的向下调整做准备
			parent = (child - 1) / 2;     //算出新位置的父亲节点下标
 
		}
 
        //当父亲节点 < 孩子时,说明调整已经完毕，退出循环
		else
		{
			break;
		}
 
	}
}

2.3堆向下调整算法

在堆排序或其他需要维护堆性质的场景中，当堆的某个节点不满足堆的性质（对于最大堆，父节点小于其子节点；对于最小堆，父节点大于其子节点）时，就需要通过向下调整来修复这个子树，使其重新成为堆

int array[] = {27,15,19,18,28,34,65,49,25,37};

 2.4堆的插入

堆的插入（HeapPush)：通常通过将新元素添加到堆的末尾，并通过向上调整算法来维持堆的性质 (由于插入前的堆肯定是一个标准的堆，所以我们在将数据插入后执行一次向上调整算法，即可完成堆的插入)

2.5堆的删除

删除元素（HeapPop）：在最大堆或最小堆中，通常删除的是根节点（即最大或最小元素），并通过向下调整算法来维持堆的性质 (由于删除前的堆肯定是一个标准的堆即左右子树肯定也是标准的堆，所以我们在将数据删除后执行一次向下调整算法，即可完成堆的删除)

为什么要删除根节点？

• 相较于删除别的位置的节点，每次删除的根节点都是堆中最大或最小的数（大堆为最大，小堆为最小）、
• 从根节点开始删除并调整堆结构，在实现上相对简便。只需删除后算法向下调整即可

2.6堆的代码实现

Heap.h

#pragma once
#include<stdio.h>
#include<stdlib.h>
#include<assert.h>
 
typedef int HPDataType;
typedef struct Heap
{
	HPDataType* _a;
	int _size;
	int _capacity;
}Heap;
 
//堆的初始化
void HeapInit(Heap* php);
// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp);
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x);
// 堆的删除
void HeapPop(Heap* hp);
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp);
// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp);
// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* hp);
 
//向上调整
void AdjustUp(HPDataType* a, int child);
//向下调整
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent);

Heap.c 

//堆的初始化
void HeapInit(Heap* hp) {
	assert(hp);
 
	hp->_a = NULL;
	hp->_capacity = hp->_size = 0;
}
// 堆的销毁
void HeapDestory(Heap* hp) {
	assert(hp);
 
	free(hp->_a);
	hp->_capacity = hp->_size = 0;
	
}
// 堆的插入
void HeapPush(Heap* hp, HPDataType x) {
	assert(hp);
 
	//扩容
	if (hp->_size == hp->_capacity)
	{
		int newcapacity = hp->_capacity == 0 ? 2 : hp->_capacity * 2;
		HPDataType* newa = (HPDataType*)realloc(hp->_a, newcapacity * sizeof(HPDataType));
		if (newa == NULL)
		{
			perror("realloc");
			return;
		}
		hp->_capacity = newcapacity;
		hp->_a = newa;
	}
 
	//插入数据
	hp->_a[hp->_size] = x;
	hp->_size++;
 
	//向上调整
	AdjustUp(hp->_a,hp->_size-1);
 
}
void Swaps(HPDataType* a, HPDataType* b) {
	HPDataType temp;
 
	temp = *a;
	*a = *b;
	*b = temp;
}
//向上调整(小堆)
//child是数组的下标
void AdjustUp(HPDataType* a, int child) {
	assert(a);
 
	int parent = (child - 1) / 2;
 
	while (child > 0)
	{
		if (a[parent] > a[child])
		{
			Swaps(&a[child],&a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
 
	}
}
// 堆的删除
void HeapPop(Heap* hp) {
	assert(hp);
	assert(hp->_size);
 
	//删除顶部数据  ，先与末尾的交换，在向下调整
	Swaps(&hp->_a[0],&hp->_a[hp->_size-1]);//让数组首元素，与尾元素交换位置
	hp->_size--;
 
	AdjustDown(hp->_a, hp->_size, 0);
 
}
//向下调整(小堆)
//n是数据数个数
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent) {
	assert(a);
 
	//假设法，默认两个孩子最小的是左孩子
	int child = parent * 2 + 1;
 
	//当没有左孩子的时候停止向下调整,拿新算的孩子位置去判断
	while (child < n)
	{
		if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child])//挑最小的孩子换，且要注意有没有右孩子
		{
			child += 1;
		}
		if (a[child] < a[parent])//孩子比父亲小就往上换
		{
			Swaps(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;//孩子变成父亲，与他的孩子比
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
 
 
}
// 取堆顶的数据
HPDataType HeapTop(Heap* hp) {
	assert(hp);
	assert(hp->_size);
 
	return hp->_a[0];
}
// 堆的数据个数
int HeapSize(Heap* hp) {
	assert(hp);
 
	return hp->_size;
}
// 堆的判空
int HeapEmpty(Heap* hp) {
 
	return hp->_size == 0;
}

3堆的应用 — 堆排序 

堆排序，我们肯定是运用堆这个数据结构来完成我们的堆排序

接下来我们将充分的了解堆排序的运作原理

下面展示的是，用一个大堆如何排一个升序？

不难看出

• 在每次交换时，堆顶最小的数都会沉到当前堆底
• 小堆在经历过N（数据个数）轮后就会得到一个升序的数组
• 大堆在经历过N（数据个数）轮后就会得到一个降序的数组

---

知道了堆排序的运转过程之后还有一个问题：使用者不可能说给你一个堆结构让你排序，肯定给的是一串无序且不是堆的数组给你排，这时侯我们就要考虑如何建堆了

3.1建堆

难道说建堆要用到上面写的堆结构，一个一个的去push吗？

其实不然，我们只需要使用向上调整算法或向下调整算法就可以完成建堆

向上调整建堆法

1.构建过程：

• 初始时，将数组的第一个元素视为堆的根节点（对于下标从0开始的数组，根节点的下标为0）
• 对于数组中剩余的元素（从下标1开始），将它们逐个视为“新插入”的元素，并执行向上调整操作
• 在向上调整过程中，对于当前元素，首先计算其父节点的下标（parent = (child - 1) / 2）。然后，比较当前元素与其父节点的值
• 如果当前元素的值大于其父节点的值（对于大根堆），则交换它们的位置。然后，将当前元素设置为新交换位置的父节点，并重复上述步骤，直到当前元素的值不大于其父节点的值或已经到达根节点
• 通过重复上述步骤，直到所有元素都被处理过，最终得到的数组将满足堆的性质

2.时间复杂度：

• 向上调整建堆法的时间复杂度为O(N * logN)，其中N是数组中的元素数量

void Swaps(int* a, int* b) {
	int temp;
 
	temp = *a;
	*a = *b;
	*b = temp;
}
 
//向上调整(小堆)
void AdjustUp(int* a, int child) {
	assert(a);
 
	int parent = (child - 1) / 2;
 
	while (child > 0)
	{
		if (a[parent] > a[child])
		{
			Swaps(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
 
	}
}
 
//堆排序
void HeapSort(int* a, int n) {
 
	//创建堆，向上调整建堆
	for (int i = 1; i < n; i++) 
	{
		AdjustUp(a,i);
	}
 
 
}

向下调整建堆法

向下调整（Adjust Down）是指从给定的非叶子节点开始，通过与其子节点比较并交换位（如果需要）来确保堆的性质

1.构建过程

1. 确定开始位置：
   • 对于长度为n的数组，由于堆是完全二叉树，所以最后一个非叶子节点的下标为(n-1-1)/2（整数除法）
   • 从这个下标开始，向前遍历所有非叶子节点
2. 执行向下调整
3. 遍历结束：
   • 当所有非叶子节点都经过向下调整后，整个数组就形成了一个堆

2.时间复杂度

向下调整建堆法的时间复杂度为O(N)，其中N是数组中的元素数量

void Swaps(int* a, int* b) {
	int temp;
 
	temp = *a;
	*a = *b;
	*b = temp;
}
//向上调整(小堆)
void AdjustUp(int* a, int child) {
	assert(a);
 
	int parent = (child - 1) / 2;
 
	while (child > 0)
	{
		if (a[parent] > a[child])
		{
			Swaps(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
 
	}
}
 
//堆排序
void HeapSort(int* a, int n) {
 
	//创建堆，向下调整建堆
	int parent = (n - 1 - 1) / 2;    //找到最后一个非叶子节点
 
	for (parent; parent >= 0; parent--)
	{
		AdjustDown(a, n, parent);
	}
	
	
 
}

3.2 利用堆删除思想来进行排序

void Swaps(int* a, int* b) {
	int temp;
 
	temp = *a;
	*a = *b;
	*b = temp;
}
 
//向上调整(小堆)
void AdjustUp(int* a, int child) {
	assert(a);
 
	int parent = (child - 1) / 2;
 
	while (child > 0)
	{
		if (a[parent] > a[child])
		{
			Swaps(&a[child], &a[parent]);
			child = parent;
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
 
	}
}
 
//向下调整(小堆)
void AdjustDown(int* a, int n, int parent) {
	assert(a);
 
	int child = parent * 2 + 1;
 
	while (child < n)
	{
		if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child])
		{
			child += 1;
		}
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swaps(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
 
 
}
 
//堆排序
void HeapSort(int* a, int n) {
 
	创建堆，向上调整建堆
	//for (int i = 1; i < n; i++)
	//{
	//	AdjustUp(a, i);
	//}
 
	//创建堆，向下调整建堆
	int parent = (n - 1 - 1) / 2;
 
	for (parent; parent >= 0; parent--)
	{
		AdjustDown(a, n, parent);
	}
	
	//小堆，可以排降序
	while (n)
	{
		Swaps(&a[0], &a[n - 1]);
 
		//交换完成把除了最后一个数据之外的数组看成一个新的堆,开始向下交换，形成新的小堆
		n--;
		AdjustDown(a, n, 0);
 
	}
 
}

3.3建堆的时间复杂度 

树的高度

 

向下建堆时间复杂度

向下建堆的时间复杂度 = O(N)

向上建堆时间复杂度

向下建堆的时间复杂度 = O(N * logN)

4堆的应用 — Top-K问题

• 前k个最大的元素，则建小堆
• 前k个最小的元素，则建大堆

void Swaps(int* a, int* b) {
	int temp;
 
	temp = *a;
	*a = *b;
	*b = temp;
}
 
//向下调整(小堆)大的下去
//n是数据数个数
void AdjustDown(HPDataType* a, int n, int parent) {
	assert(a);
 
	
	int child = parent * 2 + 1;
 
	
	while (child < n)
	{
		if (child + 1 < n && a[child + 1] < a[child])
		{
			child += 1;
		}
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swaps(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
 
 
}
void CreateNDate()
{
	// 造数据
	int n = 10000;
	srand((unsigned int)time(NULL));
	const char* file = "data.txt";
	FILE* fin = fopen(file, "w");
	if (fin == NULL)
	{
		perror("fopen error");
		return;
	}
 
	for (size_t i = 0; i < n; ++i)
	{
		int x = rand() % 1000000;
		fprintf(fin, "%d\n", x);
	}
 
	fclose(fin);
}
 
void PrintTopK(int k) {
 
	//找出前K个最大的数
 
	//打开文件
	FILE* p = fopen("data.txt", "r");
	if (p == NULL)
	{
		perror("fopen error");
		return;
	}
 
 
	//构建一个小堆
	int x = 0;
	int arr[10] = { 0 };
	
	for (int i = k; i < 10; i++)
	{
		fscanf(p,"%d", &x);
		arr[i] = x;
	}
 
	//创建堆，向下调整建堆,F(N)
	int parent = (k - 1 - 1) / 2;
 
	for (parent; parent >= 0; parent--)
	{
		AdjustDown(arr, k, parent);//这里的n数组的位置，里面的child会算出超过数组的位置，这样会停下来
	}
 
	//在将后面的数字依次对比小堆顶部，比它大就向下调整
	while (fscanf(p, "%d", &x) > 0)
	{
		if (arr[0] < x)
		{
			arr[0] = x;
			AdjustDown(arr, k, 0);
		}
	}
	
	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		printf("%d\n", arr[i]);
	}
}