“普林斯顿数学三剑客”别只看微积分了，概率论一样要学！

作者：繁依Fanyi0 | 2024-08-16 01:58:10

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普林斯顿三剑客

来源 | 《普林斯顿概率论读本》

作者：[美] 史蒂文·J. 米勒（Steven J. Miller）

译者：李馨

概率论是一门涉及面非常广的学科. 它的应用相当广泛, 既可以应用于纯数学领域, 有时也会被一些职业赌徒利用. 任何一本书都无法涵盖概率论的所有应用. 不管是本书还是你上课使用的教材, 都不会把全面论述概率论的应用作为目标. 通常情况下, 教材会介绍一些一般性的理论和技巧, 并叙述概率论的若干应用和相关扩展阅读. 为了帮助教师更好地规划课程, 教材的最后通常会给出几章高阶内容.

《普林斯顿概率论读本》既可以作为任何一本经典入门教材的补充材料, 也可以作为主要教材来使用, 因为它通过大量有解的题目以及对一般性理论的探讨来阐释概率论这门课. 我们会分析一些奇妙的问题, 并从中提炼出一些常用的技巧、观点和方法. 这样做的目的是让你学会独立完成模型的构造并解决相关问题, 进而断定什么样的问题才值得研究.

首先, 与阿德里安·班纳的《普林斯顿微积分读本》类似, 本书给出了大量有解的练习题. 在查阅答案之前, 你最好先看一看这些题目并花些时间做一做; 而本书也会给出所有题目的完整解答. 与很多书不同的是, 我们不会只给读者证明和例子, 而不给出具体的细节; 我建议你先试着做一下题目, 当有问题时再去查看相关细节.

其次, 概率论中的证明要比微积分中的证明多很多, 而这不应该让你感到吃惊. 学生通常会认为概率论在理论上的证明是极具挑战的, 而本书的主要目的就是帮助他们渡过这个难关. 整个附录A都在阐述证明技巧, 通过学习这部分内容, 你的证明技能会得到很好的锻炼和提升. 另外, 对于那些出现在概率论课上的典型结论, 其中绝大部分的完整解答都能在本书中找到. 如果你(或者你所学的课程)并不关心证明, 那么可以跳过其中很多论证, 但你至少应该浏览一下这部分内容. 尽管证明通常都很难, 但理解一个证明并不像给出一个证明那么困难. 进一步说, 在通常情况下, 我们只看证明过程就能理解定理想要表达的是什么, 或是知道该如何去运用它. 我的目的并不是给出结论的最简短证明, 而是通过细致的叙述来与你共同探讨如何去思考问题以及怎样着手证明结论. 此外, 在证明结论之前, 我们通常会花费大量时间去考察特殊情况, 这样就能对题目有直观的了解. 这是极其宝贵的技巧, 对你将来学到的很多课程都会有帮助. 最后, 我们会频繁讨论如何编写和执行代码来检验我们的计算结果是否正确, 或者让我们对答案有一定的认识. 如果想在 21 世纪的劳动大军中获得竞争优势, 那么你必须具备编程和模拟的能力. 能够写出一个简单的程序来模拟某个问题的100万种可能情况对我们来说是非常有用的, 这些结果通常会提醒你留意那些被遗漏的因素或其他错误.

如何使用本书

本书可以帮助你学习和探索概率论. 它既可以作为任何一本概率论入门读物的补充材料, 又可以单独作为基础教材来使用(对于那些想把本书当作教材的教师, 如果需要习题和考试中的部分关键解答, 请发电子邮件给我, 地址在这部分内容的最后). 正如你在学习过程中将会看到的那样, 概率论是一门涉及面非常广的学科, 它有大量的应用、技巧和方法. 这会让人感到既兴奋又恐惧. 让人兴奋的是, 你会发现许多奇怪的关联和貌似困难的问题, 但是只要按照正确的思路去考察它们, 就会变得简单起来. 让人恐惧的是, 它所包含的内容实在是太多了.

我的目标是帮助你尽情地畅游于这片知识的海洋中, 并为下一步学习做好准备. 本书的呈现方式深受阿德里安·班纳的成功著作《普林斯顿微积分读本》的影响. 就像那本书一样, 本书的目的是以轻松通俗的方式, 通过大量已有答案的问题来传授知识和数学思想. 在了解标准陈述和证明的同时, 你还将看到很多现成的例子以及关于如何研究定理的大量讨论. 学习一门课程的最好方法就是亲手实践. 求解问题是这门课的一个重要部分, 但遗憾的是这部分内容通常会因为课时有限而被删除; 然而这并不意味着学好这门课仅仅是求解出问题的答案, 它还要求我们理解证明过程.

为什么证明如此重要？在本书中, 我们将会看到一些叙述合理却被证明是错误的例子. 数学家会利用语言和证明的形式化来防止这些错误出现. 此外, 即使课程不要求你掌握证明, 了解某些命题为何成立也是很有意义的. 虽然并不要求你最终独立地写出完整的证明, 但能实现这个目标也是很不错的. 为了帮助你学习, 我们将花费大量时间来讨论为什么要按照某种思路去证明, 以及题目中的哪些线索会告诉我们应当采用何种方法来求解, 而非另外一种. 通过强调这些理念, 希望你能更深刻地感知定理为什么成立, 并为更好地使用它们做好准备, 还希望你能在将来的学习中独立完成对结论的证明.

下面是关于本书以及如何使用它的一些常见问题和解答.

在阅读本书之前, 我需要哪些预备知识　你应当熟知代数学以及微积分的学前知识, 并能自如地应用它们. 与其姊妹篇《普林斯顿微积分读本》不同, 本书想要补充的(或者说本书打算讲的)内容会更加多样化. 有些概率论课程不涉及任何微积分知识, 但其他一些课程建立在实分析和测度论的基础之上, 又或者是一些半概率半统计的课程. 我们已经试着尽可能减少对微积分知识的需求, 尤其是在那些介绍性章节中. 但这并不表示这些章节会更加简单——远非如此！求积分通常比找一个 “正确的” 方法来考察组合概率问题简单很多. 当我们学到连续分布时, 微积分就成了一个必不可少的内容, 因为根据微积分基本定理, 我们可以利用原函数来计算面积, 而我们也将看到这些面积通常对应于概率. 事实上, 求积分比求和 “更容易”. 因此, 正是因为使用了微积分, 连续型概率研究起来才会比离散型概率更加容易. 在大多数情况下, 我们会避免涉及高等实分析的内容, 但在开头部分会介绍如何为学好这门课程打下坚实的基础, 并在最后引入有关高阶内容的章节.

本书篇幅为何如此之长　与作者相比, 教师有一个巨大的优势：他们可以与学生互动. 当教学中出现难点时, 教师可以放慢课程的进度; 另外, 他们还能根据每学年学生的不同兴趣来补充相应的知识. 但作者只能求助于一样东西：内容的长度！这意味着我们将会对某些内容做出更多的解释, 而不仅仅是你所需要的那些. 此外, 由于很多读者都不按照顺序来阅读本书(关于这一点稍后再说), 因此本书也将不断地对这些解释进行重述. 可期待的是, 无论在书中还是在网络资源中, 我们都将对所有让你感到困惑的概念进行深入讨论, 并补充大量有趣的课题供你探索.

本书的内容安排与课堂所学不一致！我该怎么办　我的老师塞尔日·兰教授曾经说过, 如果一本书必须按照页码顺序来阅读, 那么这将是一件令人遗憾的事. 讲授概率论这门课的方法有很多, 而且还有大量的课题供教师选择. 你可能并没有意识到这样一件事：由于一学期的时间只有那么多, 因此当你的老师选择一个课题来讲时, 他通常会忽略其他一些课题. 于是, 尽管很多学校都会采用大量相同的教材, 但教授在课上补充的内容、使用的方法以及在何时引入某些特定的课题都具有很大灵活性. 为了帮助读者更好地学习, 我们会不时地回顾书中的内容, 这样就能使不同的章节尽量保持各自的独立性. (你可能会留意到, 我们说的这件事回答了前面的那个问题！) 你可以在任何地方跳跃式阅读, 还可以在需要的时候通过查阅前面的章节和附录来了解相关的背景知识.

是否真的有必要知道证明方法　简单地回答：是的. 证明很重要. 我之所以研究数学, 一个原因就是我十分讨厌 “因为我告诉过你就是这样”的说法. 教授之所以是正确的并不是因为他们的身份是教授(而我是对的也并不是因为本书已经出版), 每一件事都必须遵循合理的逻辑链. 当你能熟练地把握结论成立的必要条件时, 了解这些结论为什么正确将有助于你理解教材并看出其中的关联, 还有望确保你绝不会使用不恰当的结果. 通过给出完整、严格的论述, 我们试着尽量降低可能做出错误假设的风险. 概率论中产生了大量合乎情理且看起来条理清晰的命题, 但它们最终被证明是不成立的, 而严格性是我们避免发生这种错误的最佳防御手段. 遗憾的是, 随着学期进度的推进, 对结论的证明会变得越来越难以实现. 通常的课程会涉及一些高级应用, 但因为时间有限, 我们不可能把用到的所有背景知识都证明一遍. 概率论中最常见的一个例子出现在对中心极限定理证明的讨论中, 这里的典型做法就是只对复分析中的一些结果进行简单的陈述. 不管是非正式的讨论还是对某些特殊情形的分析, 我们将始终阐明需要的是什么, 并试着让你感知为什么这就是正确的. 最后, 我们还会给出相应的参考文献.

为什么有时候使用 “ 我们 ” , 但有时又使用 “ 我 ”　观察力不错. 按照数学中的习惯用法, 本书应该一直使用 “ 我们 ” , 但这种用法有时会过于正式且缺乏亲切感; 当需要注入更多亲切感时, 书中就会改用 “ 我 ”. 更重要的是, 本书的一部分内容是我与诸多学生历经多年共同完成的. 这样煞费苦心的安排有很多原因. 一方面, 这对于我的学生来说是一次很好的体验; 另一方面, 这还能保证本书的确是针对学生而写的. 接下来将会继续混合使用 “ 我们 ” 和 “ 我 ”. “ 我们 ” 这个词挺不错的, 使用它可以让你融入教材中. 让我们来共同学习本书！希望你能消除选词所造成的困惑！

本书可以作为学校教材来使用吗　绝对可以！为了进一步巩固知识, 每一章的最后都给出了很多习题, 而这些习题是最适合当家庭作业的.

书中用到的一些方法与我所学的不一样. 那么谁才是正确的呢——老师还是本书作者，实际上老师和我都是正确的！

天啊！本书的内容实在太多了——我该如何使用它呢。在普林斯顿大学的一次复习课上, 我记得有一位学生对数学书有索引这件事感到非常惊讶; 如果你觉得某些特定概念难以理解, 那么集中精力去寻找书中最有助于你理解它们的那部分内容是一个不错的办法. 也就是说, 我们的目标是用一学期的时间来阅读这本书, 因此你不用着急. 为了提高你的阅读效率, 我们在本书的主页上列出了一个文档, 总结了书中的要点、术语以及每一节的中心思想, 并给出了不同难度的题目. 我始终坚信应该在上课之前做好准备, 提前预习要学的知识. 我发现在课堂上实时消化新的数学知识非常困难, 但如果能在上课之前对那些定义和主要思想有一个基本了解, 那么消化新知识就变得容易多了. 为此, 我们给出一个线上汇总表, 它重点强调了每一节要讲的是什么. 该表的目的是为你研究每一个课题做好准备, 并对你的学习效果给出快速测评. 你可以在图灵社区本书主页的“随书下载”处找到线上汇总表.

为了帮助你学好本书, 我们把重要的公式和定理都框了起来——这强烈地表明该结论十分重要, 你应当掌握好它！有一些学校允许学生在考试时携带一两页笔记, 但即使你的学校不允许这样做, 准备好这样的总结也是很不错的. 我认为做好笔记将有助于学生更好地学习知识.

数学与记忆无关, 但有一些重要的公式和技巧需要你熟练掌握. 通常情况下, 做好总结就足以巩固好你所学的知识了. 在阅读每一章的时候你都要做好笔记, 随时记录下你发现的重要知识点, 然后在这一章最后的总结里以及强调了每节要点的网络文档中查看相关内容.

试着去找一些类似的考试题, 比如学校前几年的期末考试题, 并在特定条件下完成它们. 这意味着在此过程中, 你不能休息、不准吃食物、没有课本、不能打电话、无法发邮件, 也不可以收发消息, 等等. 然后, 看看自己能否抓住解题的关键并对试卷进行评分, 或者让其他人(非常好！)来为你打分. 另外一种很棒的方法是写一些练习测验的题目, 然后与朋友交换着做. 我常发现这样一种状况：当我参加了一两次某教授组织的考试后, 就对该教授的出题偏好有了一定的了解, 并且时常猜出一些考试题目. 尝试着做每章最后的练习题, 或者从图书馆中另借一本书并试着求解那些已经给出答案的题目. 你练习的题目越多, 就会做得越好. 对于定理, 删除其中一个条件并观察会有什么样的状况发生. 一般情况下, 定理不再成立, 因此你可以找一个反例(有时候定理仍然成立, 此时的证明将会更加困难). 每当你得到一个条件时, 该条件就应当在证明中有所体现——对于每一个结果, 试着看一下上述情况会在哪里发生.

有没有能帮助学习的视频资料　我已经在布朗大学、曼荷莲学院以及威廉姆斯学院讲过很多遍这门课. 最后几次在威廉姆斯学院的上课过程被我录制下来并放在了 YouTube上, 可以查询我的主页得到其链接. 此外, 你还能在我的主页上找到大量补充资料, 比如讲义和教材注解等. 请访问我在威廉姆斯学院的课程主页, 其中包含了全部的上课视频以及每天的补充注解. 这门课我已经讲过很多遍了, 因此课堂上的内容是我积累了数年的财富. 虽然这几年的上课内容十分相似, 但它们之间仍存在一些细微差别, 这是因为对不同的学生来说, 引起他们兴趣的内容是不一样的. 录制这些课程的一个好处是, 我可以选出一些专题作为每学期的课堂内容来讲授, 而其他的内容可以让学生在家看视频自学.

你又是谁呢　目前, 我是威廉姆斯学院的一名数学教授. 我在耶鲁大学获得了数学和物理学学士学位, 之后在普林斯顿大学继续进修并获得了数学博士学位. 此后, 我曾(依次)就职于普林斯顿大学、纽约大学、美国数学研究所、俄亥俄州立大学、波士顿大学、布朗大学、威廉姆斯学院、史密斯学院以及曼荷莲学院. 虽然我对各领域的应用数学课题进行了大量研究, 尤其是赛伯计量学(这是一门把数学和统计学应用于棒球的学科), 但我的主要研究方向是数论和概率论. 我的妻子是一名市场营销学教授, 你会看到她在本书主题选择以及采用何种形式展现这些内容方面对我的巨大影响！我们的两个孩子叫 Cam 和 Kayla, 他们协助我完成了从概率论一直到由数学角度看乐高积木与魔方的全部课程.

空白处的那些图标有什么用　在本书中, 下列出现在空白处的图标能够帮助你快速了解接下来几行要说的内容是什么. 这与《普林斯顿微积分读本》中的图标是一致的.

　-　例题求解过程始于此行.