人工智能导论笔记-第三章-确定性推理方法_消去下列谓词公式中的存在量词

推理的定义、方式及其分类：

    推理：根据已知事实(证据)和知识，通过某种策略得到结论

    

归结演绎推理：

    反证法：P=>Q，当且仅当P∧^Q <=>F，即Q为P的逻辑结论，当且仅当P∧^Q是不可满足的

    定理：Q为P1,......pn的逻辑结论，当且仅当(P1∧P2∧...∧Pn)∧^Q是不可满足的

    思路：

        

 

    谓词公式化子句集：

        原子谓词公式：一个不能再分解的命题

        文字：原子谓词公式及其否定

        P：正文字

        ^P：负文字

        子句：任何文字的析取式(只能用析取连接)。任何文字本身也都是子句

        空子句：不包含任何文字的子句；空子句是永假的，不可满足的

 

        例：(∀x)((∀y)P(x,y)-> ^(∀y)(Q(x,y))->R(x,y)))

        解：

            (1)消去谓词公式中的"->"和"<->"符号

                 P->Q <=> ^P∨Q

                 P<->Q <=> (P∧Q)∨(^P∧^Q)

                得：(∀x)(^(∀y)P(x,y)∨^(∀y)(^Q(x,y)∨R(x,y)))

            (2)把否定符号移到紧靠谓词的位置上

                 双重否定律：^(^P) <=> P

                 德摩根律：^(P∧Q) <=> ^P∨^Q；^(P∨Q) <=> ^P∧^Q

                 量词转换律：^(∃x)P <=> (∀x)^P；^(∀x)P <=> (∃x)^P

                得：(∀x)((∃y)^P(x,y)∨(∃y)(Q(x,y)∧^R(x,y)))

            (3)变量标准化

                得：(∀x)((∃y)^P(x,y)∨(∃z)(Q(x,z)∧^R(x,z)))

            (4)消去存在量词

                 存在量词不出现在全称量词的辖域内

                    随便用一个个体表示，如a,b,c等

                 存在量词出现在一个或多个全称量词的辖域内

                     

                得：y=f(x)，z=g(x)

                      (∀x)(^P(x,f(x))∨(Q(x,g(x))∧^R(x,g(x))))

            (5)化为前束形

                 前束形=(前缀){母式}

                 前缀：全称量词串

                 母式：不含量词的谓词公式

                得：(∀x)(^P(x,f(x))∨(Q(x,g(x))∧^R(x,g(x))))

            (6)化为skolem标准形

                 skolem标准形：子句的合取式，称为skolem标准的母式

                 P∨(Q∧R)<=>(P∨Q)∧(P∨R)

                 P∧(Q∨R)<=>(P∧Q)∨(P∧R)

                得：(∀x)((^P(x,f(x))∨Q(x,g(x)))∧(^P(x,f(x))∨^R(x,g(x))))

            (7)略去全称量词

                得：(^P(x,f(x))∨Q(x,g(x)))∧(^P(x,f(x))∨^R(x,g(x)))

            (8)消去合取词

                得：{ ^P(x,f(x))∨Q(x,g(x))，^P(x,f(x))∨^R(x,g(x)) }

            (9)子句变量标准化

                 不同子句的变元变为不同的

                得：{ ^P(x,f(x))∨Q(x,g(x))，^P(y,f(y))∨^R(y,g(y)) }

 

    鲁滨逊归结原理：

        定义：子句集中子句之间是合取关系，只要有一个子句不可满足，则子句集就不可满足

        基本思想：检查子句集S中是否有空子句，若有，则S不可满足；若没有，在S中选择合适的子句进行归结，一旦归结出空子句，就说明S是不可满足的

        归结原理：

            定义：设C1和C2是子句集中的任意两个子句，如果C1中的文字L1与C2中的文字L2互补(互为否定)，那么从C1和C2中分别消去L1和L2，并将两个子句中余下的部分析取，构成一个新的子句C12

 

            例：C1=^P∨Q，C2=^Q∨R，C3=P

            解：

                (1)C1与C2进行归结，得C12：^P∨R 

                (2)C3与C12进行归结，得C123：R

        定理：归结式C12是其亲本子句C1与C2的逻辑结论，即如果C1与C2为真，则C12为真

        推论：设C1与C2是子句集S中的两个子句，C12是它们的归结式，若用C12代替C1与C2后得到的新子句集S1，则由S1不可满足性可推出原子句集S的不可满足性

                  即，S1的不可满足性=>S的不可满足性

        推论：设C1与C2式子句集S中的两个子句，C12式它们的归结式，若C12加入原子句集S，得到新子句集S2，则S1与S2在不可满足的意义上等价

                  即，S2的不可满足性<=>S的不可满足性

        谓词逻辑中的归结原理：

            定义：设C1与C2是两个没有相同变元的子句，L1和L2分别是C1和C2中的文字，若б是L1和^L2的最一般合一，则称C12=(C1б-{L1б})∨(C2б-{L2б})为C1和C2的二元归结式

            例：C1=P(x)∨Q(x)，C2=^P(a)∨R(y)

            解：最一般合一，б={a/x}；

                   C1б=P(a)∨Q(a)，C2б=^P(a)∨R(y)

                   C12=Q(a)∨R(y)

 

归结反演

    步骤：

        (1)将已知前提表示为谓词公式F

        (2)将待证明的结论表示为谓词公式Q，并否定得到^Q

        (3)把谓词公式集{F,^Q}化为子句集S

        (4)应用归结原理对子句集S中的子句进行归结，并把每次归结得到的归结式都并入S中，如此反复，若出现了空子句，则停止归结，此时证明了Q为真

 

    例：某公司招聘人员，ABC三人应试，面试后公司表示如下想法：

            (1)三人中至少录取一个

            (2)如果录取A而不录取B，则一定录取C

            (3)如果录取B，则一定录取C

            求证：公司一定录取C

    解：

        将公司的想法用谓词公式表示：

            P(x)：录取x

            (1)P(A)∨P(B)∨P(C)

            (2)P(A)∧^P(B)->P(C)

            (3)P(B)->P(C)

        把要求证的结论用谓词公式表示并否定：

            (4)^P(C)

        把上述公式化成子句集：

            (1)P(A)∨P(B)∨P(C)

            (2)^P(A)∨P(B)∨P(C)

            (3)^P(B)∨P(C)

            (4)^P(C)

        应用归结原理进行归结：

            (5) P(B)∨P(C)    (1)与(2)归结

            (6) P(C)             (3)与(5)归结

            (7) NIL              (4)与(6)归结

 

    例：已知

        (1)任何人的兄弟不是女性

        (2)任何人的姐妹必是女性

        (3)Mary是Bill的姐妹

        求证：Mary不是Tom的兄弟

    解：

        定义谓词：

            brother(x,y)：x是y的兄弟

            sister(x,y)：x是y的姐妹

            woman(x)：x是女性

        将规则用谓词公式表示：

            (1)(∀x)(∀y)(brother(x,y)-> ┐woman(x))

            (2)(∀x)(∀y)(sister(x,y)->woman(x))

            (3)sister(Mary,Bill)  

        把要求证的结论用谓词公式表示并否定：

            (4)brother(Mary,Tom)

        把上述公式化成子句集：

            C1=┐brother(x,y)∨┐woman(x)

            C2=┐sister(x,y)∨woman(x)

            C3=sister(Mary,Bill)

            C4=brother(Mary,Tom)

        将子句集进行归结：

            C23=woman(Mary)

            C123=┐brother(Mary,y)

            C1234=NIL

 

应用归结原理求解问题：

    步骤：

        (1)已知前提F用谓词公式表示，并化为子句集S

        (2)把待求解的问题Q用谓词公式表示，并否定，再与ANSWER构成析取式(┐Q∨ANSWER)

        (3)把(┐Q∨ANSWER)化为子句集，并入到子句集S中，得到子句集S'

        (4)对S'应用归结原理进行归结

        (5)若得到归结式ANSWER则答案就在ANSWER中

 

    例：已知

        F1：王先生是小李的老师

        F2：小李与小张是同班同学

        F3：如果x与y是同班同学，则x的老师也是y的老师

        求：小张的老师是谁？

    解：

        定义谓词：

            T(x,y)：表示x是y的老师

            C(x,y)：x与y是同班同学

        把已知前提用谓词公式表示：

            F1：T(Wang,Li)

            F2：C(Li,Zhang)

            F3：(∀x)(∀y)(∀z)(C(x,y) ∧T(z,x)→T(z,y))

        把目标表示成谓词公式，并把它否定后与ANSWER析取：

            G：┐(x)T(x,Zhang)∨ANSWER(x)

        把上述公式化为子句集：

            (1)T(Wang,Li)

            (2)C(Li,Zhang)

            (3)┐C(x,y)∨┐T(z,x)∨T(z,y)

            (4)┐T(u,Zhang)∨ANSWER(u)

        应用归结原理进行归结：

            (5)┐C(Li,y)∨T(Wang,y)    (1)与(3)归结

            (6)┐C(Li,Zhang)∨ANSWER(Wang)    (4)与(5)归结

            (7)ANSWER(Wang)    (2)与(6)归结