C++ 傅里叶变换 推导_c++ pcm傅里叶变换

傅里叶变换

  在自己对傅里叶变换的不断学习中，逐渐对其有了一些新的理解，新的想法。故在本文中将首先简要介绍一下傅里叶变换的作用，之后对傅里叶变换过程给出自己角度的理解。

1 傅里叶变换的作用

  所谓“横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，对于一个事物，我们可能会从各个不同的角度观察，之后得到不同的结果，但其均是对这个事物的正确描述，只是角度不同罢了。我们要确立整体、全面的眼光，不要停留于对事物的表面观察，要能深入下去，以此发掘事物的内部特征。

1.1 时间域和频率域

  首先，我们要对时间域和频率域有一个了解。顾名思义，时间域，就是在时间角度下的信号；频率域，就是在频率角度下的信号。假设现在我说了句话“我和我的祖国一刻也不能分割”，其持续了5秒，那我们现在可以得到一个时间长度为5秒的连续模拟信号（现在是在时间域），之后我们进行采样和量化。

1.2 频率域分析的作用和意义

  好了，现在我们可以利用数字信号分析工具对该信号进行各种分析、处理。在时间域内，我们可以感受到信号幅值的变换，也可以感受到信号频率的变化，既然信号有频率变化，那我们是否可以利用一系列正弦基函数来表示这个信号（不同频率的正弦基函数具有不同的权重）？也就是通过这种方式，我们获取到该信号详细的频率信息。一旦这个功能可以实现，我们就可以从原始信号中分理出不同频率的信息，进行各种滤波、去噪的处理。

2 傅里叶变换的理解

  此处用离散傅里叶变换举例。

2.1 傅里叶变换的实现

傅里叶正变换：


$$F(u,v)=\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi (ux/M+vy/N)}$$


傅里叶反变换：


$$f(x,y)=\frac{1}{MN}\sum _{u=0}^{M-1}\sum _{v=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi (ux/M+vy/N)}$$

欧拉公式：


$$e^{j\theta }=\cos \theta +j\sin \theta$$

利用欧拉公式代换后：


正变换：
$$F(u,v)=\sum _{x=0}^{M-1}\sum _{y=0}^{N-1}f(x,y)(\cos (-2\pi (ux/M+vy/N))+j\sin (-2\pi (ux/M+vy/N)))$$


反变换：
$$f(x,y)=\frac{1}{MN}\sum _{u=0}^{M-1}\sum _{v=0}^{N-1}F(u,v)(\cos (2\pi (ux/M+vy/N))+j\sin (2\pi (ux/M+vy/N)))$$

2.2 傅里叶变换的分析

为了方便分析，我们利用一维信号来进行说明。


正变换：
$$F(u)=\sum _{x=0}^{M-1}f(x)(\cos (-2\pi (ux/M))+j\sin (-2\pi (ux/M)))$$


$$F(u)=\sum _{x=0}^{M-1}(f(x)\cos (-2\pi (ux/M)+jf(x)\sin (-2\pi (ux/M))))$$


反变换：
$$f(x)=\frac{1}{M}\sum _{u=0}^{M-1}F(u)(\cos (2\pi (ux/M))+j\sin (2\pi (ux/M)))$$


$$f(x)=\sum _{u=0}^{M-1}F(u)\cos (2\pi (ux/M)+jF(u)\sin (2\pi (ux/M))))$$


由上面两个公式可以看出，离散傅里叶变换就是将$f(x)$与不同的正弦基函数做乘积，也可以理解为$f(x)$向不同的正弦基函数做投影。


函数$f(x)$向基函数$g(x)$作投影的定义：


$$f(x)\cdot g(x)=f(x)\times g(x)$$


函数$f(x)$与函数$g(x)$正交的定义：
$${\int }_{-\infty }^{+\infty }f(x)g(x)dx=0$$

2.3 函数投影和向量投影的分析

至此，本文内容全部结束，有兴趣的可以了解一下本人的角度，欢迎大家在评论区给出自己的建议。