【数理逻辑】谓词逻辑 ( 个体词 | 个体域 | 谓词 | 全称量词 | 存在量词 | 谓词公式 | 习题 )_个体专元是个体词吗

一. 谓词逻辑相关概念

1. 个体词

个体 简介 :

• 1.个体 来源 : 一阶谓词逻辑 中 , 将 原子命题 分成 主语 和 谓语 , 这里便有了 个体词 与 谓词 的 概念 ;
• 2.个体 概念 : 将 独立存在的 客体 , 具体事物 , 抽象事物 ( 概念 ) 称为 个体 或 个体词 ;
• 3.个体 变元 : 使用 $a,b,c$ 表示个体变元 ;
• 4.个体 常元 : 使用 $x,y,z$ 表示个体常元 ;
• 5.个体域 概念 : 个体 变元 的取值 称为 个体域 ;
• 6.个体域 取值 : 个体域 可以 取值 有穷集合 或 无穷集合 ;
• 7.全总个体域 : 宇宙间一切事物 组成的 个体域 称为 全总个体域 ;

命题是陈述句 , 其中陈述句由 主语 , 谓语 , 宾语 组成 , 主语宾语就是个体 , 谓语就是谓词 ;

谓词逻辑 由 个体 , 谓词 , 量词 组成 ;

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2. 谓词

谓词 简介 :

• 1.谓词概念 : 将表示 个体性质 或 彼此之间关系 的 词 称为 谓词 ;
• 2.谓词表示 : 使用 $F,G,H$ 表示谓词 常元 或 变元 ;
• 3.个体性质谓词表示 : $F(x)$ 表示 $x$ 具有 性质 $F$ , 如 $F(x)$ 表示 $x$ 是黑的 ;
• 4.关系性质谓词表示示例 : $F(x,y)$ 表示 $x,y$ 具有 关系 F , 如 : $F$$G(x,y)$ 表示 $x$ 大于 $y$ ;

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3. 量词

( 1 ) 全称量词

全称量词 : Any 中的 A 上下颠倒过来 ;

• 1.语言对应 : 对应 自然语言 中 “任意” , “所有的” , “每一个” 等 ;
• 2.表示方式 : 使用符号 $\forall$ 表示 ;
• 3.解读1 : $\forall x$ 表示个体域中 所有的 $x$ ;
• 4.解读2 : $\forall x(F(x))$ 表示 , 个体域中所有的 $x$ 都具有性质 $F$ ;

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( 2 ) 存在量词

存在量词 : Exist 中的 E 左右翻转后倒过来 ;

• 1.语言对应 : 对应 自然语言 中 “有一个” , “存在着” , “有的” 等 ;
• 2.表示方式 : 使用符号 $\exists$ 表示 ;
• 3.解读1 : $\exists x$ 表示个体域中 存在着的 $x$ ;
• 4.解读2 : $\exists x(F(x))$ 表示 , 个体域中 存在 $x$ 具有性质 $F$ ;

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二. 命题符号化 技巧

1. 两个基本公式 ( 重要 )

( 1 ) 有性质 F 的个体 都有性质 G

个体域中 所有 有性质 $F$ 的 个体 , 都 具有 性质 $G$ ;

使用谓词逻辑如下表示 :

① $F(x)$ : $x$ 具有性质 $F$ ;
② $G(x)$ : $x$ 具有性质 $G$ ;
③ 命题符号化为 :
$$\forall x(F(x)\to G(x))$$

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( 2 ) 存在既有性质 F 又有性质 G 的个体

个体域 中 存在有性质 $F$ 同时有性质 $G$ 的个体 ;

使用谓词逻辑如下表示 :

① $F(x)$ : $x$ 具有性质 $F$ ;
② $G(x)$ : $x$ 具有性质 $G$ ;
③ 命题符号化为 :
$$\exists x(F(x)\wedge G(x))$$

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2. 命题符号化技巧

( 1 ) 命题符号化方法

命题符号化方法 :

• 1.写出个体域 : 先把 个体域 写明白 , 即 表明 $\forall x$ , 代表 所有的什么事物 , 如果是一切事物 , 那么必须注明是全总个体域 ;
• 2.写出性质个关系 谓词 : 使用 $F,G,H$ 表明 个体的 性质 或 关系 ;
• 3.命题符号 : 将 命题符号化 结果 注明 , 最好带上详细的解释 ;

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( 2 ) 解题技巧

由 全称量词 或 存在量词 个体词 谓词 组合成的 谓词逻辑 , 也可以当做 一个 谓词逻辑 $F(x)$ 或 $G(x,y)$ 部件 再次进行组合 ;

如下 谓词逻辑 :

$$\forall x(F(x)\to \forall y(G(y)\to H(x,y)))$$

其中 $\forall y(G(y)\to H(x,y))$ 是已经组合过的 谓词逻辑 , 现在将其当做一个 性质 , 或者 谓词逻辑部件 $A$ , 再次组合成 更加 复杂 和 庞大的 谓词逻辑 , 得到如下 :

$$\forall x(F(x)\to A)$$

因此 , 上述 谓词逻辑 展开后 , 就得到了最开始的

$$\forall x(F(x)\to \forall y(G(y)\to H(x,y)))$$

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( 3 ) 当且仅当 谓词逻辑方法

当且仅当 谓词逻辑 符号化方法 :


当且仅当 谓词逻辑 符号化 :
1> 第三变量 : 一定要引入 第三方 的变量 ;


2> 性质 或 关系 正向 推演 : 一般模式是
① 对于所有的 $x$ 与 存在的一个 $y$ 有 某种性质或关系 ,
② 对于所有的 $x$ 和 所有的 $z$ 存在某种性质或关系 ;
③ $y$ 与 $z$ 具有相等的属性 ;


3> 性质 或 关系 反向推演 : 一般模式是 :
① 对于所有的 $x$ 与 存在的一个 $y$ 有 某种性质或关系 ,
② $y$ 与 所有的 $z$ 有另一种性质 或 关系 , 一般是相等 或 不等 关系 ,
③ 可以推出 $x$ 和 $z$ 有 或者 没有 某种 性质 或 关系 ;

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3. 谓词公式定义

谓词公式定义 :

• 1.原始谓词公式 : $n$ 元 谓词 是一个 谓词公式 ;
• 2.否定式 : 如果 $A$ 是谓词公式 , 那么 $(\neg A)$ 也是谓词公式 ;
• 3.两个谓词公式 组合 : 如果 $A,B$ 是谓词公式 , 那么 $(A\wedge B),(A\vee B),(A\to B),(A\leftrightarrow B)$ 四种联结词 组合成的符号, 也是谓词公式 ;
• 4.谓词公式 与 量词 组合 : 如果 $A$ 是谓词公式 , 且含有 个体变元$x$ , 且 $x$ 没有被量词限制 , 那么 $\forall xA(x)$ , 或 $\exists xA(x)$ 也是谓词公式 ;
• 5.有限次重复 : 有限次 对 谓词公式 使用 1. ~ 4. 方法进行处理 得到的 也是 谓词公式 ;

谓词公式拼装 :
1> 经过若干次 拼装 组合好 的谓词公式 , 或者 刚写出的 单个 谓词公式 , 可以 作为原始 谓词公式 $S$ ;
2> 在 原始谓词公式 $S$ 前 加上 $\neg$ 也是谓词公式 , 注意外部带上括号 ; ( 组合后 该谓词公式可以当做原始谓词公式 $S$ 使用 )
3> 使用 联结词 将 两个 原始谓词公式 $S$ 连接起来 , 整个 组合 也是 谓词公式 ; ( 组合后 该谓词公式可以当做原始谓词公式 $S$ 使用 )
4> 在 原始谓词公式 $S$ 前 加上 量词约束 $\forall xA(x)$ , 或 $\exists xA(x)$ , 组合后 也是 谓词公式 ; ( 组合后 该谓词公式可以当做原始谓词公式 $S$ 使用 ) ( 注意 前提 : 加入量词约束的 个体词 不能被 已有量词约束 )


4> 步骤 的 注意点 :
① 前提 : 该谓词中的个体 , 没有被量词约束 , 如果有 不能重复约束 ;

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三. 命题符号化 习题

1. 简单量词 示例

( 1 ) 全称量词示例

题目 :

• 1.要求 : 命题符号化 :
• 2.命题内容 : 人都吃饭 ;

① 个体域 : 全总个体域 ;

② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :

• 1> $F(x)$ : $x$ 是人 ;
• 2> $G(x)$ : $x$ 吃饭 ;

③ 命题符号化 :
$$\forall x(F(x)\to G(x))$$

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( 2 ) 全称量词 示例 2

题目 :

• 1.要求 : 命题符号化 :
• 2.命题内容 : 某班级所有学生都学过微积分 ;

① 个体域 : 全总个体域 ;

② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :

• 1> $F(x)$ : $x$ 是某班级的学生 ;
• 2> $G(x)$ : $x$ 学过微积分 ;

③ 命题符号化 :
$$\forall x(F(x)\to G(x))$$

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( 3 ) 存在 量词 示例

题目 :

• 1.要求 : 命题符号化 :
• 2.命题内容 : 有人喜欢吃糖 ;

解答 :

① 个体域 : 全总个体域 ;

② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :

• 1> $F(x)$ : $x$ 是人 ;
• 2> $G(x)$ : $x$ 喜欢吃糖 ;

③ 命题符号化 :
$$\exists x(F(x)\wedge G(x))$$

另外一种符号化方法 : 将糖也堪称一个个体 :

① 个体域 : 全总个体域

② 谓词 : 性质/关系 定义 :

• $F(x)$ 表示 $x$ 是人
• $G(y)$ 表示 $y$ 是糖
• $H(x,y)$ 表示 $x$ 喜欢吃 $y$

③ 命题符号化 :

$$\exists x(F(x)\wedge G(x)\wedge H(x,y))$$

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2. 量词位置不同 导致的符号化 结果不同

题目 :

• 1.要求 : 命题符号化 :
• 2.命题内容 : 男人都比女人跑得快 ;

1> 方式 一 :

① 个体域 : 全总个体域 ;

② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :

• 1> $F(x)$ : $x$ 是男人 ;
• 2> $G(y)$ : $y$ 是女人 ;
• 3> $H(x,y)$ : $x$ 比 $y$ 跑得快 ;

③ 命题符号化 : $$\forall x(F(x)\to \forall y(G(y)\to H(x,y)))$$

该命题符号有等价形式 :

$$\forall x\forall y(F(x)\wedge G(y)\to H(x,y)))$$

这个命题是假命题 , 但是不妨碍我们将其符号化 ;


符号化分析 :
① 将 $\forall y(G(y)\to H(x,y))$ 独立分析 , 首先 整个 命题都处于 $\forall x$ 作用域中 , 这里 有如下属性 , 所有的女人 , 所有的男人比女人跑的快 ; 将其看做一个独立的命题 $A$ ;
② 下面分析 $\forall x(F(x)\to A)$ , 对于所有的男人 来说 , 只要是男人 , 都有 命题 $A$ 的性质 ;

2> 方式 二 :

① 个体域 : 全总个体域 ;

② 相关性质 或 关系 谓词 定义 :

• 1> $F(x)$ : $x$ 是男人 ;
• 2> $G(x)$ : $x$ 是女人 ;
• 3> $H(x,y)$ : $x$ 比 $y$ 跑得快 ;

③ 命题符号化 : $$\forall x\forall y(F(x)\wedge G(x)\to H(x,y))$$

这个命题是假命题 , 但是不妨碍我们将其符号化 ;


符号化分析 :
将 $F(x)\wedge G(x)$ 看做一个整体 $A$ , 即 $x$ 是男人 , $y$ 是女人 , 针对所有的 $x,y$ 有性质 $A$ , 那么 $x,y$ 同时又有性质 或 关系 $H(x,y)$ ;

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3. 带 或者 的 命题符号化

( 1 ) 带 或者 的 命题符号化

题目 :

• 1.要求 : 命题符号化 :
• 2.命题内容 : 某班级中的每个学生都有一台电脑 或者 他有一个拥有电脑的朋友;

解答 :

① 个体域 : 某班级的所有学生

② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

• 1> $F(x)$ : $x$ 有一台电脑 ;
• 2> $G(x,y)$ : $x$ 和 $y$ 是朋友 ;

③ 命题符号 :
$$\forall x(F(x)\vee \exists y(F(y)\wedge G(x,y)))$$

解析 :
1> 个体域定义 : 个体域 定为 “某班级中的所有学生” ;


2> 最外层量词确定 : 其都具有性质 “某班级中的每个学生都有一台电脑 或者 他有一个拥有电脑的朋友” , 因此 最外层必须是 全称量词 $\forall x(A(x))$ , 下面开始分析其中的 $A(x)$ ;


3> 两个性质之间是 或者 的关系 : 两个性质使用 $\vee$ 进行连接 , 分别是 $B(x)$ ( “有一台电脑” ) 和 $C(x)$ ( “有一个拥有电脑的朋友” ) , 当前符号 : $\forall x(B(x)\wedge C(x))$ ;


4> “有一台电脑” : 表示成 $F(x)$ ; 当前符号 : $\forall x(F(x)\wedge C(x))$ ;


5> “有一个有电脑的朋友” ( 这个比较复杂 ) :
① 首先 要虚构 一个 学生 $y$ , 这个 $y$ 代表那个有电脑的朋友 ;
② 再确定量词 : "有一个" 显然是存在量词 $\exists y$ ( 如果用全称量词的话 , 那班级所有人都是他的朋友 ) ;
③ 对这个 虚构的 $y$ 的要求是 , $y$ 同时满足两个条件 , “a. 有电脑” “b. $x,y$ 是朋友” , 因此使用 $\wedge$ 将其连接起来 , 最终表示成 $F(y)\wedge G(x,y)$ ;
④ 本句的符号为 : $\exists y(F(y)\wedge G(x,y))$ ;


6> 最终符号为 : $\forall x(F(x)\vee \exists y(F(y)\wedge G(x,y)))$ ;

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( 2 ) 带 或者的 命题 示例 2

命题符号化 :
某班级中 每个 学生 或者 去过 北京 , 或者去过 上海

解答 :

命题符号化 结果 :

① 个体域 : 某班级全体学生

② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

• 1> $F(x)$ : $x$ 去过北京;
• 2> $G(x)$ : $x$ 去过上海;

③ 命题符号 :
$$\forall x(F(x)\vee G(x))$$

解析 :


1> 个体域 量词 分析 : $\forall x$ 指的是 某班级全体 学生 中的 每一个 , 所有的 学生 ;


2> $F(x)\vee G(x)$ 解读 : 表示 $x$ 去过 北京 或者 去过 上海 ;


3> $\forall x(F(x)\vee G(x))$ 解读 : 所有的学生 , 要么去过北京 , 要么去过上海 , 二者必选其一 , 且 只能选其一 ;

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4. 复杂命题 示例

( 1 ) 复杂命题的符号化

题目 :

• 1.要求 : 命题符号化 :
• 2.命题内容 : 存在一个学生 $x$, 对所有不同的两个学生 $y$ 和 $z$ 来说 , 如果 $x$ 与 $y$ 是好朋友 , 并且 $x$ 和 $z$ 也是好朋友 , 那么 $y$ 和 $z$ 不是好朋友;

题目分析 :

• 1.个体域分析 : 命题中涉及到的个体都是 学生 , 那么 将 个体域 设置为 全体学生 ;
• 2.性质和关系分析 :
  • ① “对所有不同的两个学生” : 涉及到了 两个不同的学生 , 因此需要 定义一个 谓词 , 表示 两个学生是 不同的 或 相同的 ;
  • ② "$x$ 与 $y$ 是好朋友" : 涉及到 两个 学生 是 或者 不是 好朋友 , 因此 这里需要定义一个谓词 , 表示 两个学生 是 或者 不是 好朋友 ;
• 3.主题框架分析 :
  • ① 量词约束 : " 存在一个学生 $x$, 对所有不同的两个学生 $y$ 和 $z$ 来说 " 可以写出 最外围 的 量词约束 , $\exists x\forall y\forall z$ , 然后在对 $x,y,z$ 之间的关系进行描述 ;
  • ② "如果 $x$ 与 $y$ 是好朋友 , 并且 $x$ 和 $z$ 也是好朋友 , 那么 $y$ 和 $z$ 不是好朋友; " : 这个命题 可以用 蕴涵 联结词 进行表示 ;
    • a> 命题 $A$ : "如果 $x$ 与 $y$ 是好朋友 , 并且 $x$ 和 $z$ 也是好朋友" ,
    • b> 命题 $B$ : "那么 $y$ 和 $z$ 不是好朋友" ;
    • c> 命题 $A,B$ 的关系 : $A\to B$ ;

解答 :

命题符号化 结果 :

① 个体域 : 全体学生

② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

• 1> $F(x,y)$ : $x$ 和 $y$ 是好朋友;
• 2> $G(x,y)$ : $x$ 和 $y$ 是相同的 ;

③ 命题符号 :
$$\exists x\forall y\forall z((\neg G(y,z)\wedge F(x,y)\wedge F(x,z))\to \neg F(y,z))$$

解析 :


1> 量词分析 : $\exists x\forall y\forall z$ 对应了 题目中的 "存在一个学生 $x$, 对所有不同的两个学生 $y$ 和 $z$ 来说"


2> $(\neg G(y,z)\wedge F(x,y)\wedge F(x,z))$ 分析 : 该句对应了 “不同的两个学生 $y$ 和 $z$ 来说 , 如果 $x$ 与 $y$ 是好朋友 , 并且 $x$ 和 $z$ 也是好朋友” 同时满足 这 三个条件 ;


3> $\neg F(y,z)$ 分析 : 对应了结果 “那么 $y$ 和 $z$ 不是好朋友” ;


4> 同时满足 3 条件 然后退出结果 : $(\neg G(y,z)\wedge F(x,y)\wedge F(x,z))\to \neg F(y,z)$ ;


5> 加上量词约束 得到最终结果 : $\exists x\forall y\forall z((\neg G(y,z)\wedge F(x,y)\wedge F(x,z))\to \neg F(y,z))$ ;

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( 2 ) 个体域变化 情况 的 两种分析

题目 :

• 1.要求 : 命题符号化 :
• 2.命题内容 : 某班级中 有些学生去过 北京

解答 :

( 1 ) 方法 一 ( 个体域 为 某班级全体学生 ) :

命题符号化 结果 :

① 个体域 : 某班级全体学生

② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

• 1> $F(x)$ : $x$ 去过北京;

③ 命题符号 :
$$\exists x(F(x))$$

解析 : 直接写出即可 , 有些学生 , 使用 存在量词 $\exists x$ 表示 , $\exists x(F(x))$ 表示 有些学生去过 北京 ;

( 1 ) 方法 二 ( 个体域 为 全总个体域 ) :

命题符号化 结果 :

① 个体域 : 全总个体域

② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

• 1> $F(x)$ : $x$ 去过北京;
• 2> $G(x)$ : $x$ 是某班级的学生;

③ 命题符号 :
$$\exists x(F(x)\wedge G(x))$$

解析 : $\exists x(F(x)\wedge G(x))$


1> 个体域分析 : 个体域 为 全总个体域 , 那么 $\exists x$ 就是 存在某个事物 , 这个事物属性是宇宙间的一些事物 ;


2> $F(x)\wedge G(x)$ : 可以 解读 为 存在某个事物 , 即是某班级的学生 , 有去过 北京 ;


3> 完整解读 : $\exists x(F(x)\wedge G(x))$ , 可以 解读 为 存在某个事物 , 即是某班级的学生 , 有去过 北京 ;

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( 3 ) 当且仅当 转化问题

题目 :

• 1.要求 : 命题符号化 :
• 2.命题内容 : 每个人有且只有一个好朋友

解答 :

命题符号化 结果 :

① 个体域 : 所有的人

② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

• 1> $F(x,y)$ : $x,y$ 是好朋友;
• 2> $G(x,y)$ : $x,y$ 相等;

③ 命题符号 一 :
$$\forall x\exists y\forall z((F(x,y)\wedge \neg G(y,z))\to \neg F(x,z))$$

解析 : 每个人仅有一个好朋友 , 此处 $x,y$ 已经是好朋友了 , 如果出现一个 $z$ 与 $y$ 不相等 , 那么 $x,z$ 一定不是好朋友 ;
量词分析 :
对于所有的 $x$ , 存在一个 $y$ 是他的朋友 , 所有的 $z$ 与 $x$ 是好朋友 , 那么 这个 $z$ 就是 $y$ ;

④ 命题符号二 :
$$\forall x\exists y\forall z((F(x,y)\wedge F(x,z))\to G(y,z))$$

解析 : 每个人仅有一个好朋友 , 如果 $x,y$ 是好朋友 , $x,z$ 是好朋友 , 那么 $y,z$ 肯定相等 ;
量词分析 :
对于所有的 $x$ , 存在一个 $y$ 是他的朋友 , 所有的 $z$ 与 $x$ 是好朋友 , 那么 这个 $z$ 就是 $y$ ;

当且仅当 谓词逻辑 符号化方法 :


当且仅当 谓词逻辑 符号化 :
1> 第三变量 : 一定要引入 第三方 的变量 ;


2> 性质 或 关系 正向 推演 : 一般模式是
① 对于所有的 $x$ 与 存在的一个 $y$ 有 某种性质或关系 ,
② 对于所有的 $x$ 和 所有的 $z$ 存在某种性质或关系 ;
③ $y$ 与 $z$ 具有相等的属性 ;


3> 性质 或 关系 反向推演 : 一般模式是 :
① 对于所有的 $x$ 与 存在的一个 $y$ 有 某种性质或关系 ,
② $y$ 与 所有的 $z$ 有另一种性质 或 关系 , 一般是相等 或 不等 关系 ,
③ 可以推出 $x$ 和 $z$ 有 或者 没有 某种 性质 或 关系 ;

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( 4 ) 使用 全称量词 和 存在量词 两种形式 进行命题符号化

题目 :

• 1.要求 : 命题符号化 :
• 2.命题内容 : 并非所有的动物都是猫

解答 :

命题符号化 结果 ( 全程量词 ) : 该方式 属于 正面解答 ;

① 个体域 : 全总个体域 宇宙间一切事物

② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

• 1> $F(x)$ : $x$ 是 动物;
• 2> $G(x)$ : $x$ 是 猫;

③ 命题符号 一 :
$$\neg (\forall x(F(x)\to G(x)))$$

解析 : 命题是 “并非所有的动物都是猫” , 这里我们开始拆解命题 :
1> 提取否定 : 把并非提取出来 为 $\neg$ , 否定的命题是 “并非所有的动物都是猫” ;
2> 写出 “并非所有的动物都是猫” 命题 : 即 凡是具有动物性质的事物 , 都具有 是 猫 的性质 , 这里符号化为 $\forall x(F(x)\to G(x))$ ;
3> 最终结果 : $\neg (\forall x(F(x)\to G(x)))$ ;

命题符号化 结果 ( 存在量词 ) : 该方式 属于 侧面回答 ;

转化命题 : 存在有的动物 不是猫 ;

① 个体域 : 全总个体域 宇宙间一切事物

② 个体性质 或 关系 谓词定义 :

• 1> $F(x)$ : $x$ 是 动物;
• 2> $G(x)$ : $x$ 是 猫;

③ 命题符号 一 :
$$\exists x(F(x)\wedge \neg G(x))$$

$\exists x(F(x)\wedge \neg G(x))$ 解析 : 存在某个事物 , 其满足是动物的性质 , 同时满足 其不是猫 的性质 ;

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