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运动学建模是指考虑定义其运动的几何约束来对车辆运动建模。
对于一个两轮机器人,我们假定输入为机器人的速度v和方向变化率w,同时我们定义P是机器人的中心,L是从机器人中心到每个轮子的距离,R是轮子的半径,w1和w2是左右车轮的角速度。如下图所示
对于任一个物体,我们可以通过下图公式获得一组参数[x, y, θ]来代表系统的当前状态
对于我们的两轮机器人,我们将前进速度扩展为每个车轮的旋转速度w1和w2,根据速度与旋转速度的关系:v=w*r,我们可以知道,如果两个车轮速度相同,则车辆沿直线前进,否则会在某个瞬时旋转中心 (ICR) 的弯曲路径上运动。下图为根据车轮速度和车轮半径得到的机器人整体速度和转动角速度。
将上述角速度和之前的运动学模型进行结合,我们可以得到如下公式
对于自行车运动学建模,我们必须在车辆上选择一个参考点,该参考点可以选在后轴中心,或前轴中心或重心参考点的选择会影响所产生的运动方程,进而改变我们将要使用的控制器。
我们定义自行车的前进夹角为θ,速度为v,自行车长度为L,前轮的转向角为δ,参考点位置是后轴。计算过程如下,首先根据三角形相似原理计算转向角,之后得到速度在x轴和y轴的分量。
我们可以得到的结果如下图所示
根据上面的计算过程可得结果如下
在重心处的运动方向与任一车轮的前进速度方向和自行车的前进方向都略有不同。我们用β来表示角度。
动力学建模通过考虑作用在车辆上的所有力和力矩来对车辆运动建模,汽车的动力学模型包括两种,平移动力学模型和旋转动力学模型
构建典型的动力学模型,我们可以按照以下步骤进行。
我们可以按如下步骤构建旋转动力学模型
纵向模型考虑了在倾斜道路上行驶的车辆。我们将车辆运动限制在X-Z平面上。有几种作用在车身和轮胎上的力,包括牵引力,滚动阻力,空气阻力和重力引力产生的坡度阻力。
下图展示了车辆在倾斜路面的纵向模型
将上图中的公式进行简化可以得到如下的纵向模型
m
x
¨
=
F
x
−
F
a
e
r
o
−
R
x
−
m
g
α
m\ddot{x} = F_{x}-F_{aero}-R_{x}-mg\alpha
mx¨=Fx−Faero−Rx−mgα
横向模型将车辆运动限制在xy平面。在此模型中,还还存在一些作用在车辆上的侧向力,例如滑动力和离心力。
我们定义侧向加速度为
a
y
\ a_{y}
ay, 线性横向加速度
y
¨
\ \ddot{y}
y¨, 旋转向心加速度
w
2
R
\ w^{2} R
w2R,则侧向动力学方程和力矩方程可表示为
更常见的轮胎模型可以使用简单的线性近似来模拟轮胎力的产生。这种近似值实际上仅对较小的滑移角有效。为了使用这些线性轮胎模型,我们需要定义前后滑移角
α
f
\ \alpha _{f}
αf和
α
r
\ \alpha _{r}
αr
我们可以定义一个侧向状态变量 X l a t \ X_{lat} Xlat如下图所示,其中y为汽车质心侧向位置,β为质心侧偏角,ψ为横摆角; 以及横摆角速率 Ψ ˙ \ \dot{\Psi } Ψ˙。
车辆常见的控制操作有转向,加速和制动。侧向力的来源是方向盘转角,纵向力的来源是油门踏板位置和制动踏板位置。车辆控制的主要任务是提供合适的转向节气门和制动命令,以使车辆保持在所需的路径上行驶。包含如下任务:
轮胎模型有两个重要的概念:侧偏角和滑移率。
车速和轮胎角速度之间存在三种情况。
轮胎模型将车辆侧偏角,滑移率,道路摩擦系数以及作用在轮胎上的法向力作为输入。然后计算侧向和纵向力。我们可以将这些模型分为三种主要的建模方法:分析模型,数值模型和参数化模型。
参数化模型的两个经典模型是线性模型和Pacejka轮胎模型
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