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基础知识的详细请见知乎的这两篇文章(讲得很详细):
欧拉角旋转 - 知乎 (zhihu.com)
3维旋转矩阵推导与助记 - 知乎 (zhihu.com)
这里只给出最终的推导结果最后一步:
将上述右方的正切变成反正切就行,这里不做过多的描述,最终解算方式请见下一篇文章。