Jacobian和Hessian矩阵_hessian矩阵是对称的

作者：菜鸟追梦旅行 | 2024-03-01 20:23:42

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hessian矩阵是对称的

一、Jacobian矩阵

包含偏导数矩阵被称为Jacobian矩阵。f的Jacobian矩阵定义为： $J_{i,j}= \frac{\partial}{\partial x_j}f(x)_i$ 。

二、Hessian矩阵

Hessian是二阶导数矩阵，定义为： $H(f)(x)_{i,j}=\frac{\partial ^2}{\partial x_i \partial x_j}f(x)$ ，Hessian矩阵是对称的。

将 $f(x)$ 进行二阶泰勒级数展开：

二阶导数小于0，代表一阶导数即斜率是递减的，斜率会随着x变化减小，大于0同理。

根据二阶导数判断极大点、极小点、鞍点：

当 ${f}'(x)=0$ ，且 ${f}''(x)>0$ 时，x是一个局部极小点

当 ${f}'(x)=0$ ，且 ${f}''(x)<0$ 时，x是一个局部极大点

当 ${f}'(x)=0$ ，且 ${f}''(x)=0$ 时，x可能是鞍点或者平坦区域部分

根据Hessian矩阵判断：

当海森矩阵是正定的(即所有特征值都是正的)，则该临界点是极小点

当海森矩阵是负定的(即所有特征值都是负的)，则该临界点是极大点

当海森矩阵特征值中至少一个是正的且至少一个是负的，某些情况下是鞍点

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