DeepSORT（目标跟踪算法）中的计算观测值与状态估计的马氏距离

DeepSORT（目标跟踪算法）中的计算观测值与状态估计的马氏距离

flyfish

在目标跟踪中，使用马氏距离可以帮助判断某个观测值是否与当前的状态估计一致。
gating_distance 是一个方法，用于计算状态分布和观测值之间的门限距离（gating distance）。门限距离通常用于数据关联和验证测量值是否合理。提示用户可以从 chi2inv95 中获取适当的距离阈值。如果only_position 为 False，则使用4自由度的卡方分布，否则使用2自由度的卡方分布。

使用 gating_distance 方法计算观测值与状态估计的马氏距离，并判断哪些观测值在合理范围内.
在源码中有这样一句

  cholesky_factor = np.linalg.cholesky(covariance)
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将正定矩阵分解为一个下三角矩阵及其转置的过程

Cholesky 分解是一种将正定矩阵分解为一个下三角矩阵及其转置的过程。具体来说，如果 $A$ 是一个对称正定矩阵，那么它可以被分解为：

$A=L{L}^T$

其中 $L$ 是一个下三角矩阵。

具体例子

假设我们有一个 3x3 的对称正定矩阵：
[ 4 12 − 16 12 37 − 43 − 16 − 43 98 ]

$$\begin{bmatrix}4 & 12 & -16 \\ 12 & 37 & -43 \\ -16 & -43 & 98 \end{bmatrix}$$ ​412−16​1237−43​−16−4398​ ​
我们要找到下三角矩阵 ( L ) 使得：
$A=L{L}^T$

计算过程

1. 初始化 ( L ) 矩阵：
   ( L ) 初始化为一个与 ( A ) 维度相同的零矩阵：
   $$L=\left[\begin{array}{ccc}{l}_{11}& 0& 0\\ l_{21}& l_{22}& 0\\ l_{31}& l_{32}& l_{33}\end{array}\right]$$
2. 计算 $L$ 的元素：

• 计算(l_{11} )：
  $$l_{11}=\sqrt{a_{11}}=\sqrt{4}=2$$
• 计算 ( l_{21} )：
  $$l_{21}=\frac{a_{21}}{l_{11}}=\frac{12}{2}=6$$
• 计算 ( l_{31} )：
  $$l_{31}=\frac{a_{31}}{l_{11}}=\frac{-16}{2}=-8$$
• 计算 ( l_{22} )：
  $$l_{22}=\sqrt{a_{22}-l_{21}^2}=\sqrt{37-6^2}=\sqrt{37-36}=1$$
• 计算 ( l_{32} )：
  $$l_{32}=\frac{a_{32}-l_{31}{l}_{21}}{l_{22}}=\frac{-43-(-8)\cdot 6}{1}=\frac{-43+48}{1}=5$$
• 计算 ( l_{33} )：
  $$l_{33}=\sqrt{a_{33}-l_{31}^2-l_{32}^2}=\sqrt{98-(-8{)}^2-5^2}=\sqrt{98-64-25}=\sqrt{9}=3$$

3. 构造 ( L ) 矩阵：
   $$L=\left[\begin{array}{ccc}2& 0& 0\\ 6& 1& 0\\ -8& 5& 3\end{array}\right]$$
4. 验证分解结果：
   我们可以验证$L{L}^T=A$：

L L T = [ 2 0 0 6 1 0 − 8 5 3 ] [ 2 6 − 8 0 1 5 0 0 3 ] = [ 4 12 − 16 12 37 − 43 − 16 − 43 98 ] = A LL^T =

$$\begin{bmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 6 & 1 & 0 \\ -8 & 5 & 3 \end{bmatrix}$$ $$\begin{bmatrix} 2 & 6 & -8 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$$ = $$\begin{bmatrix} 4 & 12 & -16 \\ 12 & 37 & -43 \\ -16 & -43 & 98 \end{bmatrix}$$ = A LLT= ​26−8​015​003​ ​ ​200​610​−853​ ​= ​412−16​1237−43​−16−4398​ ​=A
因此，分解是正确的。

Python 示例

我们可以使用 NumPy 来计算 Cholesky 分解：

import numpy as np

# 定义矩阵 A
A = np.array([
    [4, 12, -16],
    [12, 37, -43],
    [-16, -43, 98]
])

# 计算 Cholesky 分解
L = np.linalg.cholesky(A)

# 输出结果
print("L:\n", L)
print("L * L.T:\n", np.dot(L, L.T))
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运行上述代码，您将得到下三角矩阵 $L$ 和验证结果 $L{L}^T$。

结果

L:
 [[ 2.  0.  0.]
 [ 6.  1.  0.]
 [-8.  5.  3.]]
L * L.T:
 [[  4.  12. -16.]
 [ 12.  37. -43.]
 [-16. -43.  98.]]
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矩阵 $A$ 成功地分解为 $L{L}^T$。

计算观测值与状态估计的马氏距离的函数说明

def gating_distance(self, mean, covariance, measurements,
                    only_position=False):

    mean, covariance = self.project(mean, covariance)
    if only_position:
        mean, covariance = mean[:2], covariance[:2, :2]
        measurements = measurements[:, :2]

    cholesky_factor = np.linalg.cholesky(covariance)
    d = measurements - mean
    z = scipy.linalg.solve_triangular(
        cholesky_factor, d.T, lower=True, check_finite=False,
        overwrite_b=True)
    squared_maha = np.sum(z * z, axis=0)
    return squared_maha
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参数说明：

• mean：状态分布的均值向量（8维）。
• covariance：状态分布的协方差矩阵（8x8维）。
• measurements：Nx4维矩阵，包含N个观测值，每个观测值的格式为 (x, y, a, h)，其中 (x, y) 是边界框的中心位置，a 是长宽比，h 是高度。
• only_position（可选）：如果为 True，则只计算中心位置 (x, y) 的距离

返回值说明：

返回一个长度为 N 的数组，其中第 i 个元素包含 (mean, covariance) 和 measurements[i] 之间的平方马氏距离。

具体步骤

• 1 投影到测量空间：
  mean, covariance = self.project(mean, covariance) 将状态均值和协方差矩阵投影到测量空间。

• 2 简化计算（如果只考虑位置）：
  if only_position: 部分只考虑位置部分，简化均值和协方差矩阵。

• 3 计算马氏距离：
  cholesky_factor = np.linalg.cholesky(covariance) 计算协方差矩阵的 Cholesky 分解。
  d = measurements - mean 计算观测值与均值的差值。
  z = scipy.linalg.solve_triangular(cholesky_factor, d.T, lower=True, check_finite=False, overwrite_b=True) 通过解三角方程计算标准化残差。
  squared_maha = np.sum(z * z, axis=0) 计算平方马氏距离。