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本关任务:八数码问题是在一个3×3的棋盘上有1−8位数字随机分布,以及一个空格,与空格相连的棋子可以滑动到空格中,问题的解是通过空格滑动,使得棋盘转化为目标状态,如下图所示。
为了简化问题的输入,首先将空格用数字0表示,然后将3×3的棋盘用9位长的字符串表示,则上图的初始状态为724506831,目标状态为012345678,本关卡所有目标状态均为012345678,也保证初始状态到目标状态有解。
对于上图的初始状态,将数字2移动到空格,称之为u操作(空格上移),将数字3移动到空格,称之为d操作(空格下移),将数字5移动到空格,称之为l操作(空格左移),将数字6移动到空格,称之为r操作(空格右移),则一个合法移动路径为lurdrdllurrdllurrulldrrull。
为了完成本关任务,你需要掌握:1.评估函数,2.贪婪最佳优先搜索,3.A*搜索:缩小总评估代价,4.求解思路。
在有信息搜索 Informed Search 策略中,常使用的是最佳优先搜索 Best First Search ,它的结点扩展是基于评估函数值f(n)选择的。评估函数被看做是代价估计,因此代价最低的结点最先被选择扩展。
对f(n)的选择决定了搜索策略,大部分的最佳优先搜索算法的f(n)由启发式函数h(n)构成:
h(n)=结点n到目标的最小代价路径的代价估计值
贪婪最佳优先搜索 Greedy Best-First Search 试图扩展距离目标结点最近的结点,原因是这种策略可能可以非常快的找到解,因此,贪婪最佳优先搜索只使用启发式信息,即f(n)=h(n)。
A* 搜索(A 星搜索)是最广为人知的最佳优先搜索,它对结点n的代价评估结合了g(n),即到达此结点n已经花费的路径代价,和h(n),即从该结点n到目标结点所花代价。
f(n)=g(n)+h(n)
由于g(n)是从开始结点到结点n的路径代价,而h(n)是从结点n到目标结点的最小路径代价的估计值因此:
f(n)=经过结点n的最小代价解的估计代价
所以,要寻找最小代价的解,首先扩展的是g(n)+h(n)值最小的结点。可以发现,A* 搜索算法与一致代价搜索算法类似,区别是 A* 搜索算法使用g(n)+h(n)而不是g(n)。
该问题是将与空格相连的数字移动到空格的位置上,也就相当于将空格移动到与之相连的位置,因此,以空格为当前结点,扩展结点可能为上下左右四个相连的位置,若使用一般的搜索算法,可能陷入无限搜索中,永远搜不到目标解,而 A* 搜索算法则能非常好的将搜索过程导向求解目标。
问题给的是字符串数据724506831,可以还原成如下形式:
那么空格的l移动操作即为下标4和下标3上所对应的数字的交换,分别为0和5,交换后的新的状态为:
以此类推,空格的lrud各操作均可用以上的交换过程表达。
A* 算法的重中之重就是启发式函数h(n)的设计,不同的设计方法可能产生不同的求解路径。在这里,可以选择欧氏距离作为评估函数值:除0之外,各个数字在当前状态的下标与目标状态的下标的绝对值之和。例如:当前状态为123456780,目标状态为:012345678,数字1的下标分别为0和1,数字2的下标分别为1和2,...,数字8的下标分别为7和8,则当前状态与目标状态的评估值为h(n)=abs(1−2)+abs(2−3)+⋯+abs(7−8)=8。
本关的编程任务是补全右侧代码片段 salvePuzzle 、 calcDistH 和 moveMap 中 Begin 至 End 中间的代码,具体要求如下:
在 salvePuzzle 中,根据输入参数init(初始状态,如724506831)和targ(目标状态,均为012345678),实现 A* 搜索算法,返回八数码问题的移动路径,如上图的移动路径:lurdrdllurrdllurrulldrrull。
在 calcDistH 中,计算当前状态(参数srcmap,如724506831)到目标状态(参数destmap,如012345678)的启发式函数值h(n),并返回h(n)。
在 moveMap 中,实现行动转换,并返回下一个状态,例如当前状态为参数curmap=724506831,当前 8 数码状态curmap中空格 0 的位置索引i=4,移动空格到位置j=3,则返回的新状态为newmap=724056831。
平台将自动编译补全后的代码,并生成若干组测试数据,接着测试程序会调用上述函数,并判断函数返回的路径是否为合法解,若是则输出 Accepted 表示程序正确,否则程序错误。
以下是平台的测试样例:
测试输入: 724506831
预期输出: Accepted
- # -*- coding:utf-8 -*-
-
- class Solution:
-
- def salvePuzzle(self, init, targ):
- ''' 求解8数码问题
- 参数:
- init - 初始状态 例如'123046758'
- targ - 目标状态 均为'012345678'
- 返回值:
- clf - 由udlr组成的移动路径字符串
- '''
-
- #请在这里补充代码,完成本关任务
- #********** Begin **********#
- clf = '' # 初始化移动路径字符串
- state_open = [] # 初始化开放列表
- state_close = [] # 初始化关闭列表
- state_open.append([init,99,'test',init,0]) # 将初始状态加入开放列表
- fn = 2 # 初始化启发式函数的权重
- flag = 1 # 初始化标志位
- while True:
- cur_state = state_open.pop(0) # 取出开放列表中的第一个状态
- state_close.append(cur_state) # 将当前状态加入关闭列表
- if cur_state[0] == targ: # 如果当前状态等于目标状态
- while 1:
- clf += cur_state[2] # 将当前状态的移动方向加入移动路径字符串
- if cur_state[3] == init: # 如果当前状态的父状态等于初始状态
- break
- for id,item in enumerate(state_close[1:]): # 遍历关闭列表中的状态
- if item[0] == cur_state[3]: # 如果找到父状态
- cur_state = item # 更新当前状态为父状态
- return clf[::-1] # 返回逆序的移动路径字符串
-
- i = cur_state[0].find('0') # 找到空格0的位置索引
- flag = 1 # 重置标志位
-
- if str(i) not in '036': # 如果空格0不在第一行、第三行和第六行
- tmp_map = self.moveMap(cur_state[0],i,i-1) # 尝试将空格0向左移动
- if tmp_map not in [tmp[0] for tmp in state_close]: # 如果新状态不在关闭列表中
- for id,item in enumerate(state_open): # 遍历开放列表中的状态
- if item[0] == tmp_map: # 如果找到新状态
- if item[1] + item[4] > self.calcDistH(tmp_map,targ) + cur_state[4] + fn: # 如果新状态的代价大于当前状态的代价
- state_open[id] = [tmp_map,self.calcDistH(tmp_map,targ),'l',cur_state[0],cur_state[4]+fn] # 更新开放列表中的状态
- flag = 0 # 设置标志位为0
- break
- break
- if flag == 1: # 如果标志位为1
- state_open.append([tmp_map,self.calcDistH(tmp_map,targ),'l',cur_state[0],cur_state[4]+fn]) # 将新状态加入开放列表
- flag = 1 # 重置标志位
-
- if str(i) not in '258': # 如果空格0不在第二行、第五行和第八行
- tmp_map = self.moveMap(cur_state[0],i,i+1) # 尝试将空格0向右移动
- if tmp_map not in [tmp[0] for tmp in state_close]: # 如果新状态不在关闭列表中
- for id,item in enumerate(state_open): # 遍历开放列表中的状态
- if item[0] == tmp_map: # 如果找到新状态
- if item[1] + item[4] > self.calcDistH(tmp_map,targ) + cur_state[4] + fn: # 如果新状态的代价大于当前状态的代价
- state_open[id] = [tmp_map,self.calcDistH(tmp_map,targ),'r',cur_state[0],cur_state[4]+fn] # 更新开放列表中的状态
- flag = 0 # 设置标志位为0
- break
- break
- if flag ==1: # 如果标志位为1
- state_open.append([tmp_map,self.calcDistH(tmp_map,targ),'r',cur_state[0],cur_state[4]+fn]) # 将新状态加入开放列表
- flag = 1 # 重置标志位
-
- if i-3>=0: # 如果空格0不在最左边的三列
- tmp_map = self.moveMap(cur_state[0],i,i-3) # 尝试将空格0向上移动
- if tmp_map not in [tmp[0] for tmp in state_close]: # 如果新状态不在关闭列表中
- for id,item in enumerate(state_open): # 遍历开放列表中的状态
- if item[0] == tmp_map: # 如果找到新状态
- if item[1] + item[4] > self.calcDistH(tmp_map,targ) + cur_state[4] + fn: # 如果新状态的代价大于当前状态的代价
- state_open[id] = [tmp_map,self.calcDistH(tmp_map,targ),'u',cur_state[0],cur_state[4]+fn] # 更新开放列表中的状态
- flag = 0 # 设置标志位为0
- break
- break
- if flag ==1: # 如果标志位为1
- state_open.append([tmp_map,self.calcDistH(tmp_map,targ),'u',cur_state[0],cur_state[4]+fn]) # 将新状态加入开放列表
- flag = 1 # 重置标志位
-
- if i+3<=8: # 如果空格0不在最右边的三列
- tmp_map = self.moveMap(cur_state[0],i,i+3) # 尝试将空格0向下移动
- if tmp_map not in [tmp[0] for tmp in state_close]: # 如果新状态不在关闭列表中
- for id,item in enumerate(state_open): # 遍历开放列表中的状态
- if item[0] == tmp_map: # 如果找到新状态
- if item[1] + item[4] > self.calcDistH(tmp_map,targ) + cur_state[4] + fn: # 如果新状态的代价大于当前状态的代价
- state_open[id] = [tmp_map,self.calcDistH(tmp_map,targ),'d',cur_state[0],cur_state[4]+fn] # 更新开放列表中的状态
- flag = 0 # 设置标志位为0
- break
- break
- if flag ==1: # 如果标志位为1
- state_open.append([tmp_map,self.calcDistH(tmp_map,targ),'d',cur_state[0],cur_state[4]+fn]) # 将新状态加入开放列表
-
- state_open.sort(key=lambda x : x[1] + x[4]) # 根据代价对开放列表进行排序
- #********** End **********#
-
- def calcDistH(self, src_map, dest_map):
- '''启发式函数h(n)
- 参数:
- src_map - 当前8数码状态
- dest_map - 目标8数码状态
- 返回值:
- clf - 当前状态到目标状态的启发式函数值
- '''
-
- #请在这里补充代码,完成本关任务
- #********** Begin **********#
- if src_map is None or dest_map is None:
- return 0
-
- clf = 0
- for i in range(9):
- clf += abs(int(src_map[i])-int(dest_map[i]))
- return clf
- #********** End **********#
-
- def moveMap(self, cur_map, i, j):
- '''状态转换(交换位置i和j)
- 参数:
- cur_map - 当前8数码状态
- i - 当前8数码状态中空格0的位置索引
- j - 将空格0的位置i移动到位置j,位置j移动到位置i
- 返回值:
- clf - 新的8数码状态
- '''
-
- #请在这里补充代码,完成本关任务
- #********** Begin **********#
- if i>j:
- i,j=j,i
- tmp_i = cur_map[i]
- tmp_j = cur_map[j]
- tmp_map = cur_map[:i]+tmp_j+cur_map[i+1:j]+tmp_i+cur_map[j+1:]
-
- return tmp_map
- #********** End **********#
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