图像的卷积(滤波)运算(二)——高斯滤波_高斯滤波器卷积核

1. 高斯滤波原理

根据数学知识，一维高斯函数可以描述为：

在图像处理中，选定X方向上长度为3的窗口，令δ=1，中心坐标为1，由上述公式，其卷积核(Xa,X,Xb)可以如下计算：

Xa = exp(-1*(0-1)(0-1)/(2*1*1))= 0.606530659712633
X = exp(-1*(1-1)(1-1)/(2*1*1))= 1
Xb = exp(-1*(2-1)(2-1)/(2*1*1))= 0.606530659712633
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可以看到计算过程没有用到常数部分，是因为需要归一化，常数部分可以省略：

Sum = Xa + X + Xb = 2.2130613194252668
Xa = Xa/Sum = 0.274068619061197
X = X/Sum = 0.451862761877606
Xb = Xb/Sum = 0.274068619061197
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通过OpenCV验证下上述结果是否正确，OpenCV可以通过函数getGaussianKernel()来实现计算高斯核，运行如下代码，可以发现两者的计算结果是一致的。

Mat kernelX = getGaussianKernel(3, 1);
cout << kernelX <<  endl;
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2. 图像二维卷积

上述的推导过程都是一维的，那么二维情况下的卷积核怎么计算呢，其实很简单，转置并相乘就可以了：

Mat kernelX = getGaussianKernel(3, 1);
cout << kernelX <<  endl;

Mat kernelY = getGaussianKernel(3, 1);
Mat G = kernelX * kernelY.t();
cout << G << endl << endl << endl;
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运行结果：

在得到卷积核之后，将其放到图像中进行二维卷积，对于原图像中的一个像素P(x,y)，有如下卷积过程：

将窗口覆盖的对应位置的像素值相乘后相加，即可得到新图像对应位置的像素值Q(x,y)。当对图像所有的像素值都这样做时，就可以得到滤波后的图像。由于一般情况下总是顺序去卷积的，从左至右，由上而下，所以这个过程就是卷积核的滑动。

当滑动到边界的时候，就会产生一个问题，就是卷积核对应的位置没有像素值。这时可以将边界像素值舍弃（卷积），或者自动填充为0（滤波）。

3. 具体实现

在OpenCV中，可以直接使用GaussianBlur()函数实现高斯滤波,但是为了验证和学习高斯滤波算法，也可以自己构建高斯卷积核，使用滤波函数filter2D()进行滤波。其具体实现如下：

#include <iostream>
#include <opencv2\opencv.hpp>

using namespace cv;
using namespace std;

int main()
{	
	//从文件中读取成灰度图像
	const char* imagename = "C:\\Data\\imgDemo\\lena.jpg";
	Mat img = imread(imagename, IMREAD_GRAYSCALE);
	if (img.empty())
	{
		fprintf(stderr, "Can not load image %s\n", imagename);
		return -1;
	}

	//直接高斯滤波
	Mat dst1;
	GaussianBlur(img, dst1, Size(3, 3), 1, 1);
	
	//自定义高斯滤波器
	Mat kernelX = getGaussianKernel(3, 1);
	Mat kernelY = getGaussianKernel(3, 1);
	Mat G = kernelX * kernelY.t();
	Mat dst2;
	filter2D(img, dst2, -1, G);
	
	//比较两者的结果
	Mat c;
	compare(dst1, dst2, c, CMP_EQ);

	//
	imshow("原始", img);
	imshow("高斯滤波1", dst1);
	imshow("高斯滤波2", dst2);
	imshow("比较结果", c);
	
	waitKey();

    return 0;
}
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可以看到这里分别用GaussianBlur()和filter2D()进行了高斯滤波，并通过compare()函数进行比较。运行结果如下所示，两者的滤波结果基本一致，说明构建的卷积核是正确的。

4. 参考资料

1.OpenCV实现二维高斯核GaussianKernel
2.opencv3.2.0图像处理之高斯滤波GaussianBlur API函数
3.OpenCV高斯滤波器详解及代码实现