抽取滤波器多相实现及matlab示例_多相滤波器抽取结构

1.简介

多相滤波器，能够使用较低频率的时钟，实现较高数据率的数据滤波抽取。
  在实际的工程应用中, 为了降低硬件实现时的输入数据速率I, 往往需要进行多相分解。采用多相滤波结构，可利用M个阶数较低的滤波来实现原本阶数较高的滤波，而且每个分支滤波器处理的数据速率仅为原数据速率的I/M，这为工程上高速率实时信号处理提供了实现途径。
  以下采样处理为例。假设要对输入数据序列进行M倍下采样（downsampling or decimation），通常来说，为了避免混叠，在下采样之前需要先进行抗混叠低通滤波，然后再对滤波结果进行下采样。很显然，滤波输出中每M个数据有(M-1)个数据要被扔掉，这就意味着针对这(M-1)个数据的滤波处理完全被浪费了。多相滤波器就是用于解决这一计算浪费问题的一种有效的滤波器实现的结构。
  多相滤波器结构同样可以用于M倍上采样处理中，在上采样处理中，上采样之后需要进行滤波器处理以滤除镜像。常规的做法是先进行插零上采样（为什么是插零上采样而不是保持上采样呢？这个问题将在另外的文章中进行解释），然后再进行滤波。采用多相滤波器结构实现滤波器的话，同样可以将滤 波和采样处理的顺序颠倒以大幅度降低所需要的运算量。

Nobel恒等变换

  为什么可以进行上/下采样处理和滤波处理的顺序的交换？这个涉及到多速率信号处理中的基本的nobel恒等变换，如下图所示[1]。nobel恒等变换所说明的就是在对滤波器进行适当地变形分解后，可以交换上/下采样处理和滤波处理的顺序而保持处理结果完全一致。

2. 抗混叠滤波器的多相分解

  考虑输入信号为 $x(k)$,滤波器冲激响应为$h(k)$ ,则常规的先进行抗混叠滤波然后进行下采样的计算过程可以表示如下：
$$y(n)=\sum _{k=0}^{n-1}h(k)x(n-k)$$
$$y_M(n)=y(nM)=\sum _{k=0}^{nM-1}h(k)x(nM-k)$$
经过适当的数学变换处理后可以得到：
$$y_M(n)=y(nM)=\sum _{k=0}^{nM-1}h(k)x(nM-k)=\sum _{k=0}^{nM-1}h(nM-k)x(k)$$
所以：$$y_M(0)=x(0)h(0)$$
$$\begin{gathered} y_M(1)=\sum _{k=0}^{nM-1}x(k)h(M-k)=\sum _{k=0}^{M-1}x(M-k)h(k) \\ =h(0)x(M)+h(1)x(M-1)+...+h(M-1)x(1)+h(M)x(0) \end{gathered}$$
$y_M(n)=$