2021-05-06_用python编写普朗特迈耶稀疏波的数值解

二维超声速流动的数值解——普朗特-迈耶稀疏波程序分享

本文主要分享了安德森的《计算流体力学基础及其应用》一书中：“二维超声速流动的数值解——普朗特-迈耶稀疏波” 的程序求解。水平有限，请见谅！

Matlab

x = 12.6905 m 处中心稀疏波超声速流的结果

Prandtl_Meyer.m

function [u_t, v_t, rho_t, p_t, T_t, Ma_t, Delta_xi] = Prandtl_Meyer(x, u, v, rho, p, Ma)
%  [u_t, v_t, rho_t, p_t, T_t, Ma_t] = Prandtl_Meyer(x, u, v, rho, p)
% 二维超声速流动的数值解——普朗特-迈耶稀疏波；
%  由x处的流场参数计算 x + Delta_x 处的参数；
%  输入是(i,j)处的流场参数，输出是(i+1,j)处的流场参数；
%  u、u_t —— x方向的速度；
%  v、v_t —— y方向的速度；
%  rho、rho_t —— 密度；
%  p、p_t —— 压力；
%  Ma、Ma_t —— 马赫数；
%  Delta_xi —— 从(i+1,j)到(i+2,j)的推进步长 Delta_xi；

%% 各种常数；
gama = 1.4; % 比热比；
CFL = 0.5;% CFL常数；
R = 8.314;% 理想气体常数 [J/(mol*K)]；
M = 0.029; %空气的摩尔质量 [kg/mol]；
Rg= R / M; % 空气的气体常数 [J/(kg*K)]；
Cy = 0.6; %人工粘性常数；

%% 计算域；
J = 41; % y方向的计算节点数；
theta = 5.352/180 * pi;% 转角大小；
E = 10;% 转角位置；

% 物理平面；
ys = @(x) 0*(x>=0 & x<=E) + (-(x - E)*tan(theta))*(x>=E);% 下边界的纵坐标；
% h —— 物理平面从下表面到上边界的距离；
h = @(x) 40 * (x>=0 & x<= 10) + (40 + (x - 10)*tan(theta))*(x>=10 & x<=45);
Delta_y = h(x)/(J - 1);
y = ys(x):Delta_y:40;

% 计算平面；
eta = @(x,y) (y - ys(x))/h(x);
eta_min = 0;
eta_max = 1;
Delta_eta = (eta_max - eta_min)/(J - 1);

%% 度量；
partial_eta_x = @(x,y) 0*(x>=0 & x<=E)...
              + ((1 - eta(x,y))*tan(theta)/h(x))*(x>=E);

%% 推进步长 Delta_xi；
% 计算马赫角 mu;
mu = asin(1 ./ Ma);
% 计算推进步长 Delta_xi；
tan_max = max(max(abs(tan(theta + mu))), max(abs(tan(theta - mu))));
Delta_xi = CFL * Delta_y / tan_max;

%% 计算解向量 F 和 向量 G;
F1 = rho.*u;
F2 = rho.*u.*u + p;
F3 = rho.*u.*v;
F4 = gama/(gama - 1)*p.*u + rho.*u.*(u.*u + v.*v)/2;

G1 = rho.*F3./F1;
G2 = F3;
G3 = rho.*(F3./F1).^2 + F2 - F1.^2./rho;
G4 = gama/(gama - 1)*(F2 - F1.^2./rho).*F3./F1...
   + rho/2.*F3./F1.*((F1./rho).^2 + (F3./F1).^2);

%% 预估步计算 (i , j) 处的partial_F；
% 向前差分； 
partial_F1 = zeros(1,J);
partial_F2 = zeros(1,J);
partial_F3 = zeros(1,J);
partial_F4 = zeros(1,J);

for j = 2:J-1
    partial_F1(j) = partial_eta_x(x,y(j))*(F1(j) - F1(j+1))/Delta_eta...
                  + 1/h(x)*(G1(j) - G1(j+1))/Delta_eta;
              
    partial_F2(j) = partial_eta_x(x,y(j))*(F2(j) - F2(j+1))/Delta_eta...
                  + 1/h(x)*(G2(j) - G2(j+1))/Delta_eta;
              
    partial_F3(j) = partial_eta_x(x,y(j))*(F3(j) - F3(j+1))/Delta_eta...
                  + 1/h(x)*(G3(j) - G3(j+1))/Delta_eta;
              
    partial_F4(j) = partial_eta_x(x,y(j))*(F4(j) - F4(j+1))/Delta_eta...
                  + 1/h(x)*(G4(j) - G4(j+1))/Delta_eta;          
end

%% 计算预估步的人工粘性 SF；
SF1 = zeros(1,J);
SF2 = zeros(1,J);
SF3 = zeros(1,J);
SF4 = zeros(1,J);

for j = 2 : J-1
    SF1(j) = Cy*abs(p(j+1) - 2*p(j) + p(j-1))/(p(j+1) + 2*p(j) + p(j-1))...
              * (F1(j+1) - 2*F1(j) + F1(j-1));
          
    SF2(j) = Cy*abs(p(j+1) - 2*p(j) + p(j-1))/(p(j+1) + 2*p(j) + p(j-1))...
              * (F2(j+1) - 2*F2(j) + F2(j-1));
          
    SF3(j) = Cy*abs(p(j+1) - 2*p(j) + p(j-1))/(p(j+1) + 2*p(j) + p(j-1))...
              * (F3(j+1) - 2*F3(j) + F3(j-1));
          
    SF4(j) = Cy*abs(p(j+1) - 2*p(j) + p(j-1))/(p(j+1) + 2*p(j) + p(j-1))...
              * (F4(j+1) - 2*F4(j) + F4(j-1));
end

%% (i+1 , j) 处的预估值；
bar_F1 = F1 + partial_F1 * Delta_xi + SF1;
bar_F2 = F2 + partial_F2 * Delta_xi + SF2;
bar_F3 = F3 + partial_F3 * Delta_xi + SF3;
bar_F4 = F4 + partial_F4 * Delta_xi + SF4;

%% 求原变量 rho的 (i+1 , j) 处预估值 bar_rho； 
% A、B和C为中间变量； 
bar_A = bar_F3.^2 ./ (2 * bar_F1) - bar_F4;
bar_B = gama/(gama - 1) * bar_F1 .* bar_F2;
bar_C = - (gama + 1)/(2*(gama-1)) * bar_F1 .^3;

bar_rho = (- bar_B  + sqrt(bar_B.^2 - 4*bar_A.*bar_C)) ./ (2*bar_A);

%% 计算bar_p，用于计算校正步的人工粘性 bar_SF；
bar_u = bar_F1 ./ bar_rho;
bar_p = bar_F2 - bar_F1 .* bar_u;

%% 求Ｇ的 (i+1 , j) 处的预估值 bar_G;
bar_G1 = bar_rho .* bar_F3 ./ bar_F1;
bar_G2 = bar_F3;
bar_G3 = bar_rho .* (bar_F3 ./ bar_F1).^2 ...
            + bar_F2 - bar_F1.^2 ./ bar_rho;
bar_G4 = gama/(gama - 1)*(bar_F2 - bar_F1.^2 ./ bar_rho) .* bar_F3 ./ bar_F1...
            + bar_rho/2 .* bar_F3 ./ bar_F1 .* ((bar_F1./bar_rho).^2 + (bar_F3./bar_F1).^2);

%% 校正步计算 (i+1 , j) 处的 bar_partial_F;
% 向后差分；
bar_partial_F1 = zeros(1,J);
bar_partial_F2 = zeros(1,J);
bar_partial_F3 = zeros(1,J);
bar_partial_F4 = zeros(1,J);

for j = 2 : J-1
    bar_partial_F1(j) = partial_eta_x(x,y(j))*(bar_F1(j-1) - bar_F1(j))/Delta_eta...
                              + 1/h(x)*(bar_G1(j-1) - bar_G1(j))/Delta_eta; 
                          
    bar_partial_F2(j) = partial_eta_x(x,y(j))*(bar_F2(j-1) - bar_F2(j))/Delta_eta...
                              + 1/h(x)*(bar_G2(j-1) - bar_G2(j))/Delta_eta; 
                          
    bar_partial_F3(j) = partial_eta_x(x,y(j))*(bar_F3(j-1) - bar_F3(j))/Delta_eta...
                              + 1/h(x)*(bar_G3(j-1) - bar_G3(j))/Delta_eta; 
                          
    bar_partial_F4(j) = partial_eta_x(x,y(j))*(bar_F4(j-1) - bar_F4(j))/Delta_eta...
                              + 1/h(x)*(bar_G4(j-1) - bar_G4(j))/Delta_eta;                          
end

%% 校正步的bar_partial_F改为向前差分；
bar_partial_F1(1) = partial_eta_x(x,y(1))*(bar_F1(1) - bar_F1(2))/Delta_eta...
                              + 1/h(x)*(bar_G1(1) - bar_G1(2))/Delta_eta; 
                          
bar_partial_F2(1) = partial_eta_x(x,y(1))*(bar_F2(1) - bar_F2(2))/Delta_eta...
                              + 1/h(x)*(bar_G2(1) - bar_G2(2))/Delta_eta; 
                          
bar_partial_F3(1) = partial_eta_x(x,y(1))*(bar_F3(1) - bar_F3(2))/Delta_eta...
                              + 1/h(x)*(bar_G3(1) - bar_G3(2))/Delta_eta;   
                          
bar_partial_F4(1) = partial_eta_x(x,y(1))*(bar_F4(1) - bar_F4(2))/Delta_eta...
                              + 1/h(x)*(bar_G4(1) - bar_G4(2))/Delta_eta; 

%% 求 (i , j) 和 (i+1 , j) 之间的平均导数； 
bar_partial_F1_av = (partial_F1 + bar_partial_F1) / 2;
bar_partial_F2_av = (partial_F2 + bar_partial_F2) / 2;
bar_partial_F3_av = (partial_F3 + bar_partial_F3) / 2;
bar_partial_F4_av = (partial_F4 + bar_partial_F4) / 2;

%% 计算校正步的人工粘性 bar_SF；
bar_SF1 = zeros(1,J);
bar_SF2 = zeros(1,J);
bar_SF3 = zeros(1,J);
bar_SF4 = zeros(1,J);

for j = 2 : J-1
    bar_SF1(j) = Cy*abs(bar_p(j+1) - 2*bar_p(j) + bar_p(j-1))/(bar_p(j+1) + 2*bar_p(j) + bar_p(j-1))...
              * (bar_F1(j+1) - 2*bar_F1(j) + bar_F1(j-1));
          
    bar_SF2(j) = Cy*abs(bar_p(j+1) - 2*bar_p(j) + bar_p(j-1))/(bar_p(j+1) + 2*bar_p(j) + bar_p(j-1))...
              * (bar_F2(j+1) - 2*bar_F2(j) + bar_F2(j-1));
          
    bar_SF3(j) = Cy*abs(bar_p(j+1) - 2*bar_p(j) + bar_p(j-1))/(bar_p(j+1) + 2*bar_p(j) + bar_p(j-1))...
              * (bar_F3(j+1) - 2*bar_F3(j) + bar_F3(j-1));
          
    bar_SF4(j) = Cy*abs(bar_p(j+1) - 2*bar_p(j) + bar_p(j-1))/(bar_p(j+1) + 2*bar_p(j) + bar_p(j-1))...
              * (bar_F4(j+1) - 2*bar_F4(j) + bar_F4(j-1));    
end

%% (i+1 , j) 处的校正值；
F1_t = F1 + bar_partial_F1_av * Delta_xi + bar_SF1;
F2_t = F2 + bar_partial_F2_av * Delta_xi + bar_SF2;
F3_t = F3 + bar_partial_F3_av * Delta_xi + bar_SF3;
F4_t = F4 + bar_partial_F4_av * Delta_xi + bar_SF4;

%% 边界条件：计算(i+1,41)上边界处的流场参数；
% 注：此处采用沿垂直方向线性外插的方式是不合适的，而应该从内部网格点沿特征线外插；
F1_t(J) = 2*F1_t(J-1) - F1_t(J-2);
F2_t(J) = 2*F2_t(J-1) - F2_t(J-2);
F3_t(J) = 2*F3_t(J-1) - F3_t(J-2);
F4_t(J) = 2*F4_t(J-1) - F4_t(J-2);

%% (i + 1, j)处的原变量计算； 
% 中间变量 A、B 和 C 的计算；
A_t = F3_t.^2 ./ (2 * F1_t) - F4_t;
B_t = gama/(gama - 1) * F1_t .* F2_t;
C_t = -(gama + 1) / (2*(gama - 1)) * F1_t.^3;

% 原变量的计算；
rho_t = (-B_t + sqrt(B_t.^2 - 4*A_t.*C_t)) ./ (2*A_t);
u_t = F1_t ./ rho_t;
v_t = F3_t ./ F1_t;
p_t = F2_t - F1_t.*u_t;
T_t = p_t ./ (rho_t * Rg);
Ma_t = sqrt((u_t.^2 + v_t.^2) ./ (gama * Rg * T_t));

%% 边界条件：计算(i+1,1)下边界处的流场参数；
psi = atan(abs(v_t(1))/u_t(1));% 速度向量的夹角；
% 分为扩张前(x<=E)的壁面和扩张后(x>E)的壁面的计算；
phi = psi*(x<=E) + (theta - psi)*(x>E);

f_cal = sqrt((gama+1)/(gama-1))*atan(sqrt((gama-1)/(gama+1)*(Ma_t(1)^2-1)))...
        - atan(sqrt(Ma_t(1)^2-1));
f_act = f_cal + phi; % 普朗特-迈耶关系式；
% 由f_act求解Ma_act;
Fun = @(Ma)sqrt((gama+1)/(gama-1))*atan(sqrt((gama-1)/(gama+1)*(Ma^2-1)))...
       - atan(sqrt(Ma^2-1)) - f_act;
Ma_act = fsolve(Fun, 2.2);

% 计算真实的压力、密度与温度；
% Ma_t(1) 即 Ma_cal;
p_t(1) = p_t(1) * ((1 + ((gama-1)/2) * Ma_t(1)^2) / (1 + ((gama-1)/2) * Ma_act^2))^(gama/(gama-1));
T_t(1) = T_t(1) * ((1 + ((gama-1)/2) * Ma_t(1)^2) / (1 + ((gama-1)/2) * Ma_act^2));
rho_t(1) = p_t(1)/(Rg*T_t(1));

% 计算 y 方向的速度 v;
% u_t(1) = u_cal;
v_t(1) = 0 * (x<=E) + (- u_t(1) * tan(theta))*(x>E);
Ma_t(1) = Ma_act; % Ma-act才是真正的马赫数；

%% 从(i+1,j)到(i+2,j)的推进步长 Delta_xi；
% 计算马赫角 mu;
mu = asin(1 ./ Ma_t);
% 计算推进步长 Delta_xi；
tan_max = max(max(abs(tan(theta + mu))), max(abs(tan(theta - mu))));
Delta_xi = CFL * Delta_y / tan_max;
end
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246

test_Prandtl_Meyer.m

% Author: CXT
% Date: 2021/5/6
% Theme: 二维超声速流动的数值解——普朗特-迈耶稀疏波；
clc;
clear;
close;

%% 初始条件(x = 0)；
J = 41;
u = 678 * ones(1,J); % [m/s];
v = zeros(1,J);% [m/s];
rho = 1.23 * ones(1,J); % [kg/m3];
p = 0.101 * 10^6 * ones(1,J); % [N/m2];
T = 286 * ones(1,J); % [K]
Ma = 2 * ones(1,J); % [1];

%% test;
x = 0;
for i = 1:100
    [u, v, rho, p, T, Ma, Delta_xi] = Prandtl_Meyer(x, u, v, rho, p, Ma);  
    x = x + Delta_xi;
    if (x>=12.928)
        break;
    end
end
%% 绘图；
% 计算 x 所在的 y 的分布；
x = x - Delta_xi;
theta = 5.352/180 * pi;% 转角大小；
E = 10;% 转角位置；
ys = @(x) 0*(x>=0 & x<=E) + (-(x - E)*tan(theta))*(x>=E);% 下边界的纵坐标；
% h —— 物理平面从下表面到上边界的距离；
h = @(x) 40 * (x>=0 & x<= 10) + (40 + (x - 10)*tan(theta))*(x>=10 & x<=45);
Delta_y = h(x)/(J - 1);
y = ys(x):Delta_y:40;

figure;
plot(u,y,'*-');
xlabel('u/(m/s)');
ylabel('y/m');
title("x = 12.6905 m 处中心稀疏波超声速流的结果");
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41

额外说明

在计算到 x = 45.0246 m 处，程序就爆掉了。错误提示信息如下：

索引超出数组元素的数目(0)。

出错 Prandtl_Meyer (第 70 行)
    partial_F1(j) = partial_eta_x(x,y(j))*(F1(j) - F1(j+1))/Delta_eta...

出错 test_Prandtl_Meyer (第 20 行)
    [u, v, rho, p, T, Ma, Delta_xi] = Prandtl_Meyer(x, u, v, rho, p, Ma);
1
2
3
4
5
6
7

笔者未找出原因，也未对该问题进行深究！