泊松分布

泊松分布定义：如果随机事件A发生的概率是P，进行n次独立试验，恰巧发生了k次，则相应的概率可以用这样一个公式来计算：

在实际事例中，当一个事件以固定的平均速率出现时随机且独立地出现时，那么这个时间在单位时间（面积或体积等）内出现的次数或个数近似服从泊松分布。

如：

某医院平均每小时出生3个婴儿；（单位时间）

某公司平均每小时接到3.5个电话；（单位时间）

数学性质一：泊松分布是正态分布的一种微观视角，是正态分布的另一种面具

数学性质二：泊松分布的间隔是无记忆性的。

注意，不是说泊松分布是无记忆的，而是泊松分布的间隔无记忆。什么叫无记忆性呢？就是之前的情况对之后的情况没有影响。所以间隔的无记忆性就是指，前一间隔中随机事件是否发生对后一间隔中随机事件是否发生没有影响。

在城市大暴雨的案例中，如果去年发生了一次大暴雨，那今年发生大暴雨的概率会变成多少呢？按人类的直觉，大暴雨是平均50年发生一次，刚刚发生了一次，接下来一年就不会再发生大暴雨了，概率是0。

但是，这个看法是不对的。这又是概率反直觉的一个例子。今年发生了大暴雨与明年的大暴雨，相互没有影响，用概率论的术语就是“相互独立”。

一、理论知识

【先说说组合数C(n, k)】
C(n, k) = n!/(k!(n-k)!) 
一句话就是“n中选k”的所有可能数，详细的可以如下理解：
假设一份实验报告，有 n 个空格对应 n 次试验记录，每成功一次就对相应位置的空格打勾，如果你想要“定制”一份成功了 k 次的试验报告，就需要选其中 k 个空格打勾，这时候 C(n, k) 就代表所有的打勾方式。

【二项分布】
在 n 次 *独立* 试验中，事件 A 发生的总次数 X 的概率分布（且要求每次试验时 A 发生的概率 *相等*）。
【记号】一个随机变量 X 服从二项分布，通常用数学记号 X~B(n, p) 来表示。
其中，“实验次数 n”和“发生概率 p”决定了这个分布的所有特征。

【概率分布计算】
通过 n 和 p，我们可以计算出 X 取 0~n 中任何整数值 k 的概率：
P(X=k) = C(n,k)*(p^k)*[(1-p)^(n-k)]
其中，C(n, k) 就是上面说的组合数。
【例子】连续 10 次投硬币，正面朝上的次数 X=5 的概率：
P(X=5) = C(10, 5)*(0.5^5)[(1-0.5)^(10-5)]
= 252 * (0.5^10) ~ 0.246
（也就是文中说的大约 1/4）

【期望和方差】
二项分布的期望（均值）为 np，方差为 np(1-p)。（推导过程不难，不会也可以问问搜索引擎）

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二项分布告诉我们：想要“期望 ”大，那就提升 n 和 p。

（限制了 p，就想法扩大 n）
* 而如果客观条件约束了胜算，只要“期望”收益为正，那就追求多次可重复。
例如，赌场，保险公司，风险投资……

大量可重复，概率的规律才有意义。
因为少量的“试验”次数，难以支撑那一点微小的概率优势；只有不断扩大 n，“运气”才会收敛到“期望”。

（限制了 n，就努力提升 p）
* 对难得的机会，最好事前充分地准备，提升成功概率，降低不确定性。
例如，错过等一年的高考，理想的职位面试，或者一些重要的仪式，甚至是“do or die”……

最怕的就是，当机会到来，只能遗憾地说：抱歉我还没准备好……
只有做足了准备，才能有底气的在成功之后说一句：这是我应得的！

【泊松分布与二项分布】
1）当二项分布的 n 很大而 p 很小时，泊松分布可作为二项分布的近似。
2）数学上，当 n 趋于无穷，而 np 的大小趋于一个（大于0）的稳定值