pi/4QPSK调制解调原理

1. $\pi /4$QPSK 信号的调制原理

减小相位突变量的QPSK由偏置键控QPSK（OK-QPSK）和 $\pi /4$偏置的QPSK（ $\pi /4$QPSK）。由于 $\pi /4$QPSK是用差分相位编码产生的（因此也叫做 $\pi /4$DQPSK），能有效地进行差分解调和鉴频器解调，在一些不易提取相干载波的场合很有用。

在常规的QPSK中，输入数据经过串/并变换后，分成同相（I）支路和正交（Q）支路，两路数据分别对两个正交载波进行BPSK调制，然后相加合成输出信号，其相位每间隔$T_s=2T_b$可能跳变一次，每次跳变相位有四种可能的取值，即 $\pm \pi /2$和$\pm \pi$，如7-29（a）所示。

OK-QPSK和QPSK不同的地方是经过串/并变换分成的两路数据，要相互错开（偏置）一个比特$T_b$，再进行正交解调，以合成输入信号。此输出信号的相位每间隔$T_b$可能跳变一次，但由于两路信号的相位变化不会同时发生，因而合成信号的相位变化限于 $\pm \pi /2$，如图7-29（b）所示，这说明OK-QPSK不存在$\pm \pi$的相位跳变。

$\pi /4$QPSK也是在QPSK的基础上发展起来的，不同的地方是这里把信号的相位平面平分成间隔为$\pi /4$的八种相位，八种相位又相间地分成两个相位组，如图7-29（c）所示。图中，带符号“x”的相位点为一组，带符号“°”的相位为另一组。规定$\pi /4$QPSK信号的相位每隔$T_s=2T_b$秒必须从一个组跳变到另一个组。如果当前码元的信号相位等于“x”组4个相位中的一个，那么，下一码元的信号相位只能变成“°”组4个相位中的一个，反之也是一样。这说明，图7-29（c）中，符号不同的相位分别构成一个QPSK相量图，只是二者在相位上错开一个相角$\pi /4$，这是为什么把这种调制方式称为$\pi /4$偏置QPSK的原因。由图7-29©可以看出，在相邻码元之间，信号相位的跳变量共有4种，即$\pm \pi /4$和$\pm 3\pi /4$，不会出现$\pm \pi$的相位跳变。

$\pi /4$QPSK信号虽然不存在$\pm \pi$的相位跳变，但其功率谱的旁瓣如果不进行抑制，其带外辐射电平仍不能达到要求。工程上对窄带数字调制信号的要求是：在频偏$\Delta f$等于传输速率$1/T_b$时，即归一化频偏$\Delta f{T}_b=1$时，功率谱密度要衰减到-60dB以下。为此，在调制前，需要用滤波器对基带信号进行预处理。但是预调制滤波器的带限作用通常要给已调信号带来程度不同的包络起伏，因此，与其他调制方式一样，$\pi /4$QPSK在调制后的功率放大器还必须采取措施（如负反馈技术），以扩大其动态范围，从而减小已调信号在其中发生的频谱扩散。$\pi /4$QPSK不属于恒包络数字调制，它所以能提高信号的频带利用率是进行综合处理的结果。

$\pi /4$QPSK信号的表示式可以写成
$$s_k(t)=cos({\omega }_{c}t+{\phi }_k)=cos{\phi }_{k}cos{\omega }_{c}t-sin{\phi }_{k}sin{\omega }_{c}t=cos({\phi }_{k-1}+\Delta {\phi }_k)cos{\omega }_{c}t-sin({\phi }_{k-1}+\Delta {\phi }_k)sin{\omega }_{c}t$$
式中，$\Delta {\phi }_k$是当前码元信号相位${\phi }_k$与前一码元相位${\phi }_{k-1}$之差。所谓差分相位编码，就是利用信号的相位差$\Delta {\phi }_k$来携带所需传输的信息。对于$\pi /4$QPSK信号来讲，对应当前码元数据取值，$\Delta {\phi }_k$的取值范围为$\pm \pi /4、\pm 3\pi /4$四种取值，其编码规则为：AB=00对应$\pi /4$相位，AB=01对应$3\pi /4$相位，AB=11对应$-3\pi /4$相位，AB=00对应$-\pi /4$相位。

显然，假设信号的初始相位为0，则当前码元的相位${\phi }_k$可能有$0、\pi 、\pm \pi /2、\pm \pi /4、\pm 3\pi /4$这八种相位位置，如图7-29©所示，我们令
$$X_k=cos({\phi }_{k-1}+\Delta {\phi }_k)，Y_k=sin({\phi }_{k-1}+\Delta {\phi }_k)$$
则有
$$X_k=cos({\phi }_{k-1}）cos\Delta {\phi }_k-sin({\phi }_{k-1}）sin\Delta {\phi }_k=X_{k-1}cos\Delta {\phi }_k-Y_{k-1}sin\Delta {\phi }_k$$
$$Y_k=sin({\phi }_{k-1}）cos\Delta {\phi }_k+cos({\phi }_{k-1}）sin\Delta {\phi }_k=Y_{k-1}cos\Delta {\phi }_k+X_{k-1}sin\Delta {\phi }_k$$
上式说明，$X_k$和$Y_k$完全取决于前一码元的相位及前后码元的相位差，且$X_k$和$Y_k$的取值只有固定的$0、\pm 1、\pm 1/\sqrt{2}$五种，因此，$\pi /4$QPSK信号的包络不是恒定的。

为了获取已调的$\pi /4$QPSK信号，只要获取输入的当前码元数据所对应的$X_k$和$Y_k$的取值，再将其分别与相互正交的载波信号$cos{\omega }_{c}t、sin{\omega }_{c}t$相乘，并进行减法运算即可，其组成原理如下图所示。

图中的成形滤波器的目的，一是为了抑制已调信号的带外功率辐射，而是去除接收端的码元串扰。

2. 匹配滤波器与成形滤波器

通信系统中，经常遇到最优滤波器的概率。所谓最优滤波器，实际上都是在某个准则下的最优。匹配滤波器对应的最优准则是输出信噪比（SNR）最大，而且还有一个前提条件是在白噪声背景下。匹配滤波器的表达式为
$$H(f)=S^{\ast }(f)$$
也就是说，匹配滤波器的频率响应是输入信号频率响应的共轭。一方面，从幅频特性来看，匹配滤波器和输入信号的幅频特性完全一样。也就是说，在信号越强的频率点，滤波器的放大倍数越大；在信号越弱的频率点，滤波器的放大倍数也越小。这就是信号处理中的马太效应。也就是说，匹配滤波器是让信号尽可能通过，而不管噪声的特性。因为匹配滤波器的一个前提是白噪声，也即是噪声的功率谱是平坦的，在各个频率点都一样。因此，在这种情况下，让信号尽可能通过，实际上也隐含着尽量减少噪声的通过。另一方面，从相频特性上看，匹配滤波器的相频特性和输入信号正好完全相反。这样，通过匹配滤波器后，信号的相位值为0，正好能实现信号时域上的相干叠加。而噪声的相位是随机的，只能实现非相干叠加。这样在时域上保证了输出信噪比的最大。

实际上，在信号与系统的幅频特性与相频特性中，幅频特性更多地表征了频率特性，而相频特性更多地表征了时间特性。匹配滤波器无论是从时域还是频域，都充分保证了信号尽可能大地通过，噪声尽可能小地通过，因此能获得最大信噪比的输出。输入信号一旦发生了变化，原来的匹配滤波器也就不能再称为匹配滤波器了。注意：匹配滤波器是匹配输入的，也就是说对应与某种特殊的输入信号形式，其匹配滤波器也是不相同的；对匹配滤波器的频率特性可以扩展开来看，对于整个完整的通信传输系统来讲，只要从接收端到发射端之间的频率响应符合滤波器特性，就可以获取最大信噪比条件下的接受性能，换句话说，如果将信道传输接收端滤波器的频率响应的乘积满足输入信号的匹配特性，则在接收端可以获取最优解调性能。

以$\pi /4$QPSK调制为例，输入的码元信号，映射后的幅度信号都属于一定时间范围内的方波基带信号，基带信号波形决定了基带的频谱特性，将方波信号进行傅里叶变换，时域波形有限的信号，在频域中时无限展宽的。频域中有限的波形在时域中就无限的展宽，所以经过滤波器限制了频率带宽的时域波形会有无现场的拖尾。因此，在码元数据以一定周期经过滤波器后，每个码元的拖尾都会延伸至其他码元出现的地方，造成幅度的叠加，从而造成每个码元的幅度变化，当幅度畸变到一定程度的时候，就会造成接收端无法正确判决码元的值。数字通信系统的频带是有限的，频带无线的数字信号在数字系统中传输出现波形畸变，在接收端抽样判决时就会出现错误，造成误码甚至根本不能判决。但是，对于数字传输系统来讲，由于只要接收端的基带信号在抽样判决时正确，就可以忽略判决点意外的畸变，另外在抽样判决时往往会稍稍的偏离最佳抽样点，所以也要使最佳判决点附近的波形形变尽量小。因此，必须找到一种既能满足把数字通信信道带宽控制在一定范围内，又不能因为限制了频带范围而产生的码间串扰。要在最佳抽样时刻得到准确的幅度信息，保持信号的无失真传输，奈奎斯特提出了抽样无失真条件，即只需要发射设备、传输信道、接收设备的整个响应满足理想低通特性，即整个系统的传输特性为：
H ( f ) = { T s , ∣ f ∣ ⩽ f B 0 , ∣ f ∣ > f B f B = 1 / 2 T s H(f)=\left\{

$$\begin{matrix} T_{s}, \left | f \right | \leqslant f_{B}& \\ 0,\left | f \right | > f_{B}& \end{matrix}$$ \right.f_{B}=1/2T_{s} H(f)={Ts​,∣f∣⩽fB​0,∣f∣>fB​​​fB​=1/2Ts​
此系统的冲激响应为
$$h(t)=\frac{sin\pi t/T_s}{\pi t/T_s}$$
$$h(n{T}_s)=\{\begin{array}{cc}1,n=0& \\ 0,n=\pm 1,\pm 2,\pm 3,\cdots & \end{array}$$
由上面的推导可知，理想低通特性的冲激响应也是无限长的，但是除了在最佳采样点n=0是值为1，其他整数时刻均为零，即当前时刻的抽样值只与冲激响应的零点有关，而与其他时刻的冲激响应无关，因此只要在$t=n{T}_s$时抽样就可以不受码间干扰的影响。但是理想低通特性的信道是无法在工程中实现的，而且理想低通滤波器的截止频率过于陡峭，冲激响应的旁瓣具有漫长的拖尾现象，这个滤波器也难于实现，拖尾过长使得位定时异常困难，只有在最佳采样点处才能采样到正确的幅度值，只要稍微偏离最佳采样点一点点就会出现错误，所以接近理想低通特性的传输信道没有好的抗定时抖动能力。

根据奈奎斯特最小带宽定理：速率为$f_s$的数据要无码间干扰地通过传输信道，其最小信号带宽$f_B=f_s/2$。这样的无码间干扰传输系统的频带利用率能达到2Baud/Hz。

既然理想低通特性的传输函数难以实现，就需要更符合现实的方式，由此应运而生了奈奎斯特残留对称定理。在理想低通特性的传输函数上加上一个以最小码间干扰传输信道频率$f_B$为对称中心的传输函数$G(f)$，得到的新传输函数依然可以满足冲激响应零点位置不变的特性。这个另加的传输函数是一个奇对称实函数，其定义为
$$G(f_B-f_s)=-G(f_B+f_s),0<f_B<f_s$$
修正后的无码间串扰信道传输特性为
H a ( f ) = { 1 + G ( f ) , ∣ f ∣ < f B G ( f ) , f B ⩽ ∣ f ∣ < 2 f B 0 , ∣ f ∣ < 2 f B H_{a}(f)=\left\{

$$\begin{matrix} 1+G(f) ,\left | f \right |< f_{B}& \\ G(f),f_{B}\leqslant \left | f \right |< 2f_{B}& \\ 0,\left | f \right |< 2f_{B}& \end{matrix}$$ \right. Ha​(f)=⎩⎨⎧​1+G(f),∣f∣<fB​G(f),fB​⩽∣f∣<2fB​0,∣f∣<2fB​​​
在实际使用中，满足以上传输特性的升余弦滤波器得到了广泛应用。由于不同于有陡峭截止频率的低通滤波器，升余弦滤波器的过渡带平滑，易于工程实现，有效降低了冲激响应的拖尾现象，使抽样定时更加容易。

升余弦滤波器本身是一种有限脉冲响应滤波器，其传递函数的表达式为
H ( f ) = { T s , 0 ⩽ ∣ f ∣ ⩽ 1 − α 2 T s T s 2 { 1 + c o s [ π T s α ( ∣ f ∣ − 1 − α 2 T s ) ] } , 1 − α 2 T s < ∣ f ∣ ⩽ 1 + α 2 T s 0 , ∣ f ∣ > 1 + α 2 T s H(f)=\left\{

$$\begin{matrix} T_{s} ,0\leqslant \left | f \right |\leqslant \frac{1-\alpha }{2T_{s}}& \\ \frac{T_{s}}{2}\left \{ 1+cos\left [ \frac{\pi T_{s}}{\alpha } \left ( \left | f \right | -\frac{1-\alpha }{2T_{s}}\right )\right ] \right \},\frac{1-\alpha }{2T_{s}}< \left | f \right |\leqslant \frac{1+\alpha }{2T_{s}}& \\ 0,\left | f \right |> \frac{1+\alpha }{2T_{s}}& \end{matrix}$$ \right. H(f)=⎩⎪⎨⎪⎧​Ts​,0⩽∣f∣⩽2Ts​1−α​2Ts​​{1+cos[απTs​​(∣f∣−2Ts​1−α​)]},2Ts​1−α​<∣f∣⩽2Ts​1+α​0,∣f∣>2Ts​1+α​​​
式中，$\alpha$为大于0小于1的滚降因子。

滚降因子的取值对系统的性能有着重要的影响，首先$\alpha$的大小直接影响了系统占用的带宽。当$\alpha =0$时，滤波器的带宽为$f_s/2$，称为奈奎斯特带宽；当$\alpha =0.5$时，滤波器的截止频率为$(1+\alpha )f_s/2=0.75f_s$；当$\alpha =1$时，滤波器的截止频率为$(1+\alpha )R_s/2=f_s$。可见$\alpha$的值直接决定了传输系统频带利用率，是系统传输有效性的具体体现。理想情况下$H(f)$在$f=(1+\alpha )f_B$处的衰减应该为无限大，但是在实际情况下，根据对相邻信道干扰的不同，取值也不同，工程上常需要大于60dB。这样看来，为了提高频带利用率应该将$\alpha$的值取得尽量小。其实不然，$\alpha$值的大小还决定了接收端位同步的难易程度，$\alpha$越小，定时越困难，对位定时的抖动性能要求越高；$\alpha$越大，定时越容易。再则，冲激响应的拖尾衰减速度也由$\alpha$决定，值越大衰减得越快，码间串扰也就越小。因此，系统设计时必须把频带利用率和位同步的难易程度综合考虑。

根据基带传输系统的传输函数
$$H(f)=H_T(f)C(f)H_R(f)$$
假设信道的传输函数为理想低通特性，即$C(f)=1$，则基带传输系统的传输系统函数为
$$H(f)=H_T(f)H_R(f)$$
由最佳接收理论可知，当取$H_T(f)=H_R(f)$时，能满足差错率最小，在接收端形成一个匹配滤波器。在高斯白噪声信号传输中传输时，能够最大程度地抑制噪声干扰，那么可以得到最佳无码间干扰的基带传输函数
$$\sqrt{H(f)}=H_T(f)=H_R(f)$$
即把一个升余弦滤波器分为两个平方根升余弦滤波器；一个用于发射设备成形滤波，一个用于接收设备抑制噪声进行批评滤波。具体实现时候是用冲激响应的FIR滤波器，它的特点是具有线性相位。

2.1 MATLAB仿真

为了理解收发端滤波器设计对解调性能的影响，仿真不同的收发滤波器组合，观察眼图来比较其解调性能。

• 符号速率$R_b=1Mbps$
• 基带成形滤波器滚降因子$\alpha =0.5$
• 采样速率$f_s=8R_b$

ps=1*10^6;   %码速率为1MHz
a=0.5;       %成形滤波器系数
Fs=8*10^6;   %采样速率
N=2000;     %仿真数据的长度

t=0:1/Fs:(N*Fs/ps-1)/Fs;%产生长度为N,频率为fs的时间序列
s=randint(N,1,2);       %产生随机二进制数据作为原始数据
%将单极对码变换为双极性码
for i=1:N
    if s(i)==0
        s(i)=-1;
    end
end
%对数据以Fs频率采样
Ads_i=upsample(s,Fs/ps);

%设计升余弦滤波器
n_T=[-2 2];
rate=Fs/ps;
T=1;
cos_b = rcosfir(a,n_T,rate,T);%升余弦波器
cos_sqrt_b = rcosfir(a,n_T,rate,T,'sqrt');%平方根升八弦滤波器

%设计普通低通滤波器
fc=[ps 3.1*10^6];  %过渡带
mag=[1 0];         %窗函数的理想滤波器幅度
dev=[0.01 0.01];   %纹波
[n,wn,beta,ftype]=kaiserord(fc,mag,dev,Fs)  %获取凯塞窗参数
fpm=[0 fc(1)*2/Fs fc(2)*2/Fs 1];            %firpm函数的频段向量
magpm=[1 1 0 0];                            %firpm函数的幅值向量
normal_lpf=firpm(n,fpm,magpm);

%第一种情况：发送端采用平方根升弦滤波器，接收端采用平方根升余弦滤波器
tra=filter(cos_sqrt_b,1,Ads_i);
rec_1=filter(cos_sqrt_b,1,tra);
eyediagram(rec_1(100:length(tra)),4*Fs/ps);
%第二种情况：发送端采用升弦滤波器，接收端采普通滤波器
tra=filter(cos_b,1,Ads_i);
rec_2=filter(normal_lpf,1,tra);
eyediagram(rec_2(100:length(tra)),4*Fs/ps);
%第三种情况：发送端采用升弦滤波器，接收端采用升余弦滤波器
tra=filter(cos_b,1,Ads_i);
rec_3=filter(cos_b,1,tra);
eyediagram(rec_3(100:length(tra)),4*Fs/ps);
%第四种情况：发送端采用普通滤波器，接收端采用普通滤波器
tra=filter(normal_lpf,1,Ads_i);
rec_4=filter(normal_lpf,1,tra);
eyediagram(rec_4(100:length(tra)),4*Fs/ps);
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48

仿真结果如下图所示，可以清楚看出，收发端均采用平方根升余弦滤波器的眼图性能最好，这种模式也正是匹配滤波器的概念；发射端采用升余弦滤波器，接收端采用普通滤波器也能得到较好的性能，这正是接收接解调时采用的方式；收发端均采用升余弦滤波器，以及收发端均采用普通滤波器得到的眼图要差得多，因此解调误码率也会更大。

3. pi/4QPSK信号的差分解调

与DPSK、MSK、ASK等调制信号一样，$\pi /4$QPSK的常用解调方式也有相干解调和非相干解调两种方式。显然，如果采用相干解调方式，就需要恢复出相干载波。在静态的情况下，相干解调比非相干解调性能上有优势，但是当在移动通信中时，相干解调的性能优势就荡然无存。这是因为在移动通信过程中，信号的衰落变化大，频移特性变化大，十分不利于相干载波的提取。

非相干解调主要分为鉴频检测和差分解调两种，其中差分解调可以分为基带差分解调和中频差分解调。基带差分解调也需要一个本地载波，不过与接收载波非相干，但是当本地载波和接收载波存在频差时，如果一个码元内的频率偏差使相位偏差达到一定程度时会使系统误码率大量增加。中频差分解调不需要本地载波，解调时时利用接收信号和两个分别延迟一个码元周期和$\pi /2$的信号相乘得到的，解调中要求信号的延迟准确才能保证信号能力不过多丢失，如果延迟不准确就会使系统误码性能降低。

图7-32中为中频差分解调$\pi /4$QPSK信号的电路原理框图，从图中可以看出，这种电路不需要另外的振荡器产生本地同相正交载波。经过延迟的信号$s_{k-1}(t)=cos({\omega }_{c}t+{\phi }_{k-1})$与两个支路的信号$cos({\omega }_{c}t+{\phi }_k)$和$sin({\omega }_{c}t+{\phi }_k)$分别相乘，即
$$U(k)=cos({\omega }_{c}t+{\phi }_k)cos({\omega }_{c}t+{\phi }_{k-1})$$
$$V(k)=sin({\omega }_{c}t+{\phi }_k)cos({\omega }_{c}t+{\phi }_{k-1})$$
经滤波和抽样，可得
$$I(k)=\frac{1}{2}cos({\phi }_k-{\phi }_{k-1}),Q(k)=\frac{1}{2}sin({\phi }_k-{\phi }_{k-1})$$

根据$\pi /4$QPSK信号基带信号的编码规则，$\Delta {\phi }_k={\phi }_k-{\phi }_{k-1}$只有四种取值。编码规则为：AB=00对应$\pi /4$相位，AB=10对应$3\pi /4$相位，AB=11对应$-3\pi /4$相位，AB=01对应$-\pi /4$相位。当$\Delta {\phi }_k$为$\pi /4$时，$I(k)>0,Q(k)>0$;当$\Delta {\phi }_k$为$3\pi /4$时，$I(k)<0,Q(k)>0$;当$\Delta {\phi }_k$为$-3\pi /4$时，$I(k)<0,Q(k)<0$;当$\Delta {\phi }_k$为$-\pi /4$时，$I(k)>0,Q(k)<0$。因此，可以直接对$I(k),Q(k)$的符号进行判决，进而直接判决输出发射端的原始数据。判决规则为：$I(k)>0$时判为0，否则判为1；$Q(k)>0$时判为0，否则判为1。

3.1 pi/4QPSK调制解调的MATLAN仿真

如图7-32所示，差分解调的下边支路还需要对中频采样信号进行$\pi /2$的相位延时，也就是获取直接中频采样信号的正交信号。获取正交支路信号的方法大致有两种：直接延时处理，以及采用Hilbert变换滤波器实现。直接延时处理方法的前提是需要获取准确的载波频率。例如，载波频率为2MHz，采样频率为8MHz，则每个载波频率周期采用4个点，$\pi /2$相位延时相当于正好延时1个采样点。这种处理方法随着载波频率的估计误差，以及移动环境下载频率的偏差会带来较大的误差，从而影响解调性能。Hilbert变换滤波器是一个更为准确的相位延时系统，但是需要Hilbert滤波器。Hilbert滤波器是一个全通滤波器，通过它的信号正频率部分产生负90°相移，负频率部分产生90°相移，其频率响应为
h ( e j ω ) = { − j , 0 ⩽ ω < π j , − π < ω < 0 h(e^{j\omega })=\left\{

$$\begin{matrix} -j,0\leqslant \omega < \pi & \\ j,-\pi< \omega < 0& \end{matrix}$$ \right. h(ejω)={−j,0⩽ω<πj,−π<ω<0​​
图7-32中的另一个延时处理是码元周期延时，实际工程实现时，如果需要得到精确的码元周期延时，需要获得准确的定位信息。当然，可以将位定时同步电路处理后的信号送回差分解调环路。实际上，通常会将采样时钟频率设计成码元周期（符号速率）的整数倍，且采样频率远大于符号速率，为简化工程设计，通常采用直接延时采样点数的方法实现。

• 符号速率$R_b=1Mbps$
• 基带成形滤波器滚降系数$\alpha =0.8$
• 采样速率$f_s=8R_b$

ps=1*10^6;   %码速率为1MHz
a=0.8;       %成形滤波器系数
B=(1+a)*ps;  %中频信号处理带宽
Fs=8*10^6;   %采样速率
fc=2*10^6;   %载波频率
N=2000;     %仿真数据的长度

t=0:1/Fs:(N*Fs/ps-1)/Fs;%产生长度为N,频率为fs的时间序列
s=randint(N,1,4);       %产生随机四进制数据作为原始数据

%将绝对码变换为相对码
xk=ones(1,N);
yk=ones(1,N);
for i=2:N
    if s(i)==0
        xk(i)=xk(i-1)*cos(pi/4)-yk(i-1)*sin(pi/4);
        yk(i)=yk(i-1)*cos(pi/4)+xk(i-1)*sin(pi/4);
    elseif s(i)==1 
        xk(i)=xk(i-1)*cos(-pi/4)-yk(i-1)*sin(-pi/4);
        yk(i)=yk(i-1)*cos(-pi/4)+xk(i-1)*sin(-pi/4);
    elseif s(i)==2 
        xk(i)=xk(i-1)*cos(3*pi/4)-yk(i-1)*sin(3*pi/4);
        yk(i)=yk(i-1)*cos(3*pi/4)+xk(i-1)*sin(3*pi/4);
    elseif s(i)==3 
        xk(i)=xk(i-1)*cos(-3*pi/4)-yk(i-1)*sin(-3*pi/4);
        yk(i)=yk(i-1)*cos(-3*pi/4)+xk(i-1)*sin(-3*pi/4);
    end
end

%对相对码数据以Fs频率采样
Ads_i=upsample(xk,Fs/ps);
Ads_q=upsample(yk,Fs/ps);


%加噪声
% SNR=20;
% Ads_i=awgn(Ads_i,SNR);
% Ads_q=awgn(Ads_q,SNR);

%设计平方根升余弦滤波器
n_T=[-2 2];
rate=Fs/ps;
T=1;
Shape_b = rcosfir(a,n_T,rate,T,'sqrt');
%对采样后的数据进行升余弦滤波;
rcos_Ads_i=filter(Shape_b,1,Ads_i);
rcos_Ads_q=filter(Shape_b,1,Ads_q);

%产生同相正交两路载频信号
f0_i=cos(2*pi*fc*t); 
f0_q=sin(2*pi*fc*t);       

%产生PI/4_QPSK已调信号
piqpsk=rcos_Ads_i.*f0_i-rcos_Ads_q.*f0_q;       

%设计Hilbert滤波器及相同阶数的普通带通滤波器
fpm=[0 0.25 1 3 3.75 4]*10^6*2/Fs;  %firpm函数的频段向量
magpm=[0 0 1 1 0 0];                %firpm函数的幅值向量
n=30;                               %滤波器阶数
h_bpf=firpm(n,fpm,magpm,'hilbert') ;%Hilbert带通滤波器
bpf=firpm(n,fpm,magpm);             %普通带通滤波器
%绘制Hilbert滤波器及普通带通滤波器频率响应
freqz(h_bpf);
freqz(bpf);

%完成对PI/4_QPSK信号的Hilbert滤波及普通滤波
piqpsk_i=filter(bpf,1,piqpsk);
piqpsk_q=filter(h_bpf,1,piqpsk);

%对普通带通滤波后的数据进行一个符号周期延时处理
piqpsk_di=[zeros(1,Fs/ps),piqpsk_i(1:length(piqpsk_i)-Fs/ps)];

%实现差分解调
demod_mult_i=piqpsk_i.*piqpsk_di;
demod_mult_q=piqpsk_q.*piqpsk_di;

%对乘法运算后的同相正交支路滤波
demod_i=filter(Shape_b,1,demod_mult_i);
demod_q=filter(Shape_b,1,demod_mult_q);

%绘制解调后的同相正交支路眼图
eyediagram(demod_i,4*Fs/ps)
eyediagram(demod_q,4*Fs/ps)

%绘制pi4_QPSK信号频谱、pi4_QPSK信号时域波形
figure(1)
m_piqpsk=20*log10(abs(fft(piqpsk,1024)));m_piqpsk=m_piqpsk-max(m_piqpsk);
%设置幅频响应的横坐标单位为MHz
x_f=[0:(Fs/length(m_piqpsk)):Fs/2];x_f=x_f/10^6;
%只显示正频率部分的幅频响应
mpiqpsk=m_piqpsk(1:length(x_f));
%设置时域波表的横坐标单位为us
Len=100;%设置时域波形显示的点数
x_t=1:Len;%产生长度为Len的时间序列
x_t=x_t/Fs*10^6;
%显示所需的频谱及时域波形
subplot(211); plot(x_f,mpiqpsk);       
legend('PI/4 QPSK信号频谱');
xlabel('频率(MHz)');ylabel('幅度(dB)');grid on;
subplot(212);plot(x_t,piqpsk(101:Len+100));
legend('PI/4 QPSK时域信号波形');
xlabel('时间(us)');ylabel('幅度(V)');grid on;

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103

下图为$\pi /4$QPSK 信号的频谱及时域波形，图7-34为解调后的同相正交支路眼图。从解调后的基带波形眼图可以看出，同相及正交两条支路的眼图均十分清晰，具有良好的解调性能。