【线性代数】正交向量与正交子空间

作者：黑客灵魂 | 2024-07-16 11:50:31

踩

正交向量

一个秩为r，m*n的矩阵A中，其行空间和列空间的维数为r，零空间和左零空间的维数分别为n-r，m-r，并且有行空间与零空间正交，列空间与左零空间正交。

“掌握上面的这个结论就掌握了线性代数的半壁江山！”，MIT教授如是说。那么什么是正交子空间呢？我们首先从我们熟悉的正交向量说起。

我们都知道，如果两个向量x,y正交，则其夹角为90度，可表示为表达式：

注意：x，y的顺序没有区别，即下式也成立：

两个向量正交，可以表示为下图：

由勾股定理可知：

将上式展开得：

我们举例说明：假设两个向量分别为x,y，z=x+y：

其中x，y满足下式：

则向量的长度（即向量的2范数）的平方为：

显然满足勾股定理：

上面的推导，已证明勾股定理，自己可以仔细领会。

定义：两个子空间正交即两个子空间的任意两个向量正交。

文章开头说到，行空间与零空间正交，列空间与左零空间正交。下面我们来证明行空间与零空间正交，列空间与左零空间正交。

行空间与零空间正交的证明

在《矩阵的零空间》一文中，我们知道，Ax=0的解就是矩阵的零空间，则：

展开可得：

上式说明，矩阵的每一行向量都与零空间正交，而矩阵的行空间就是其行向量的线性组合，则说明行空间与零空间正交。同理，我们亦可以证明列空间与左零空间正交，在此就不重复了。

作者：nineheadedbird

声明：本文内容由网友自发贡献，不代表【wpsshop博客】立场，版权归原作者所有，本站不承担相应法律责任。如您发现有侵权的内容，请联系我们。转载请注明出处：https://www.wpsshop.cn/w/黑客灵魂/article/detail/833946