MATLAB 微积分

MATLAB提供了多种方法来解决微分和积分问题，求解任意程度的微分方程式以及计算极限。最重要的是，您可以轻松求解复杂函数的图，并通过求解原始函数及其导数来检查图上的最大值，最小值和其他文具点。

本章将讨论微积分的问题。在本章中，我们将讨论预演算的概念，即计算函数的极限并验证极限的性质。

在下一章微分中，我们将计算一个表达式的导数，并求出图的局部极大值和极小值。我们还将讨论求解微分方程。

最后，在“积分”一章中，我们将讨论积分演算。

计算极限

MATLAB提供了limit用于计算极限的函数。limit函数以其最基本的形式将表达式作为参数，并在自变量变为零时找到表达式的极限。

例如，让我们计算函数的极限f(x)=（x ³ + 5）/（x ⁴ + 7），因为x趋于零。

syms x
limit((x^3 + 5)/(x^4 + 7))

MATLAB将执行上述语句并返回以下结果-

ans =
   5/7

极限函数属于符号计算领域。您需要使用syms函数来告诉MATLAB您正在使用哪些符号变量。您还可以计算函数的极限，因为变量趋向于除零以外的某个数字。为了计算lim _{x-> a}（f(x)），我们使用带参数的limit命令。第一个是表达式，第二个是x逼近的数字，这里是a。

例如，让我们计算函数的极限f(x)=(x-3)/(x-1)，因为x趋于1。

limit((x - 3)/(x-1),1)

MATLAB将执行上述语句并返回以下结果-

ans =
   NaN

让我们再举一个实例

limit(x^2 + 5, 3)

MATLAB将执行上述语句并返回以下结果-

ans =
   14

使用Octave计算极限

以下是使用symbolic包的上述示例的Octave版本，请尝试执行并比较结果-

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
subs((x^3+5)/(x^4+7),x,0)

Octave将执行以上语句并返回以下结果-

ans =
   0.7142857142857142857

极限基本属性的验证

代数极限定理提供了极限的一些基本性质。这些如下-

让我们来看两个函数-

• f(x) =（3x + 5）/(x-3)

• g(x)= x ² +1。

让我们计算两个函数的x趋于5的函数极限，并使用这两个函数和MATLAB验证极限的基本属性。

实例

创建一个脚本文件并在其中键入以下代码-

syms x
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;
l1 = limit(f, 4)
l2 = limit (g, 4)
lAdd = limit(f + g, 4)
lSub = limit(f - g, 4)
lMult = limit(f*g, 4)
lDiv = limit (f/g, 4)

运行文件时，它显示-

l1 =
   17
  
l2 =
   17
  
lAdd =
   34
 
lSub =
   0
  
lMult =
   289
  
lDiv =
   1

使用Octave验证极限的基本属性

以下是使用symbolic包的上述示例的Octave版本，请尝试执行并比较结果-

pkg load symbolic
symbols

x = sym("x");
f = (3*x + 5)/(x-3);
g = x^2 + 1;

l1 = subs(f, x, 4)
l2 = subs (g, x, 4)
lAdd = subs (f+g, x, 4)
lSub = subs (f-g, x, 4)
lMult = subs (f*g, x, 4)
lDiv = subs (f/g, x, 4)

Octave将执行以上语句并返回以下结果-

l1 =
   17.0
l2 =
   17.0
lAdd =
   34.0
lSub =
   0.0
lMult =
   289.0
lDiv =
   1.0

左右限位

当函数对某个特定值的变量具有不连续性时，此时不存在限制。换句话说，函数的极限f(x)在x = a处具有不连续性，这是因为当x的值从左侧接近x时，极限值不等于x的值从右侧接近时x极限值。

这导致了左手和右手极限的概念。左手极限定义为从x左边开始的极限，即x-> a，即x接近a时，x <a的值。右手极限定义为从右开始x-> a的极限，即对于x> a的值，x接近a。当左手极限和右手极限不相等时，该极限不存在。

让我们看一个函数-

f(x) = (x - 3)/|x - 3|

我们将显示lim _{x-> 3} f(x)不存在。MATLAB通过两种方式帮助我们建立这一事实-

• 通过绘制函数图并显示不连续性。

• 通过计算极限并显示两者是不同的。

左手和右手极限是通过将字符串“ left”和“ right”作为最后一个参数传递给limit命令来计算的。

实例

创建一个脚本文件并在其中键入以下代码-

f = (x - 3)/abs(x-3);
ezplot(f,[-1,5])
l = limit(f,x,3,'left')
r = limit(f,x,3,'right')

运行文件时，MATLAB绘制以下图

在此之后显示输出-

l =
   -1
  
r =
   1