1-- 线性神经网络（线性回归）_线性回归神经网络

1.1线性回归

        我理解的就是对方程： 根据现有的数据来求解该方程中的w和b。但由于实际问题中的数据x和y并不是都能被这个方程所描述，就像二维的散点图中，不能用一条直线来穿过所有的点，所以我们的目标是要让这条直线能够穿过尽可能多的点，不在该直线上的点也能让它尽可能的离这条直线近。即我们要找到合适的w和b使得计算出来的y'与真实的y误差最小化。

        给定训练数据特征X和对应的已知标签y， 线性回归的目标是找到一组权重向量w和偏置b： 当给定从X的同分布中取样的新样本特征时， 这组权重向量和偏置能够使得新样本预测标签的误差尽可能小。 

        损失函数（loss function）能够量化目标的实际值与预测值之间的差距。 通常会选择非负数作为损失，且数值越小表示损失越小，完美预测时的损失为0。 回归问题中最常用的损失函数是平方误差函数。 当样本i的预测值为y^(i)，其相应的真实标签为y(i)时， 平方误差可以定义为以下公式：

        由于平方误差函数中的二次方项， 估计值y^(i)和观测值y(i)之间较大的差异将导致更大的损失。为了度量模型在整个数据集上的质量，我们需计算在训练集n个样本上的损失均值（也等价于求和）。

         不难看出线性回归的解可以用一个公式简单地表达出来， 这类解叫作解析解（analytical solution）。当无法得到解析解的情况下，我们可以使用梯度下降（gradient descent）的方法， 这种方法几乎可以优化所有深度学习模型， 它通过不断地在损失函数递减的方向上更新参数来降低误差。

        在每次需要计算更新的时候随机抽取一小批样本， 这种变体叫做小批量随机梯度下降（minibatch stochastic gradient descent）每次迭代中，我们首先随机抽样一个小批量B， 它是由固定数量的训练样本组成的。 然后，我们计算小批量的平均损失关于模型参数的导数（也可以称为梯度）。 最后，我们将梯度乘以一个预先确定的正数η，并从当前参数的值中减掉。

1.2 实现线性回归 

!pip install git+https://github.com/d2l-ai/d2l-zh@release  # installing d2l
#导入各个模块
%matplotlib inline
import random
import torch
from d2l import torch as d2l
import matplotlib.pyplot as plt
 
#这里我们使用确定好的w、b以及随机的x来生成对应y 
#最后看该经过线性回归计算得到的w和b与实际的w和b是否一致
def synthetic_data(w,b,num_examples):#根据设置的w和b来得到随机数据x以及对应的y
  X = torch.normal(0, 1, (num_examples, len(w)))
  y = torch.matmul(X, w) + b
  y += torch.normal(0, 0.01, y.shape)#这里为了不让数据完全拟合于线性模型 对y加入噪声
  return X, y.reshape((-1,1))
 
true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = synthetic_data(true_w, true_b, 1000)#得到生成的x以及y
print('features:', features[0], '\nlable:',labels[0])#这里是检查features, labels的数据是否正常
#下面是可视化当前的数据 但这里有时候会报错 就不画了
#d2l.set_figsize()
#d2l.plt.scatter(features[:, (1)].detach().numpy(), labels.detach().numpy(), 1);
 
 
def data_iter(batch_size, features, labels):#该函数用来返回固定批量（batch_size大小）的样本数据
  num_examples = len(features)
  indices = list(range(num_examples))
  random.shuffle(indices)#这里将特征的下标打乱 随机小批量中的“随机”
  for i in range(0, num_examples, batch_size):
    batch_indices = torch.tensor(indices[i: min(i+batch_size, num_examples)])
    yield features[batch_indices], labels[batch_indices]#返回数据 一批一批的返回
 
batch_size = 10
 
for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):#简单的输出看一下 每批量的样本
  print(X, '\n', y)
  break
 
def linreg(X, w, b):#建立模型
  return torch.matmul(X, w) + b
 
def squared_loss(y_hat, y):#损失函数
  return (y_hat - y.reshape(y_hat.shape))**2/2
 
def sgd(params, lr, batch_size):#优化算法
#并不是所有的操作都需要进行计算图的生成，只是想要网络结果的话就不需要后向传播 
#如果你想通过网络输出的结果去进一步优化网络的话 就需要后向传播了。
  with torch.no_grad():#表明当前计算不需要反向传播，使用之后，强制后边的内容不进行计算图的构建
    for param in params:
      param -= lr * param.grad / batch_size#更新参数 这里÷batch_size是因为前面计算的是小批量的全部损失 而我们是要用平均损失来优化
      param.grad.zero_()
 
lr = 0.03 #学习率
num_epochs = 5
net = linreg
loss = squared_loss
 
#这里是随机初始化w和b的值 因为后续会对其进行更新 这里初始值不影响
w = torch.normal(0, 0.01, size=(2,1), requires_grad=True)#从N~（0，0.01）分布中随机返回大小为2✖1大小的矩阵
b = torch.zeros(1, requires_grad=True)
 
for epoch in range(num_epochs):
  for X, y in data_iter(batch_size, features, labels):
    l = loss(net(X, w, b), y)# x和y的小批量损失
    l.sum().backward()
    sgd([w, b], lr, batch_size)#使用优化算法 对w和b进行更新
  with torch.no_grad():
    train_l = loss(net(features, w, b), labels)
    print(f'epoch {epoch+1}, loss {float(train_l.mean()):f}')
 
#看一下最终结果与最开始设定的w、b的误差
print(f'w的估计误差: {true_w - w.reshape(true_w.shape)}')
print(f'b的估计误差: {true_b - b}')

运行结果： 

1.3 简洁实现

!pip install git+https://github.com/d2l-ai/d2l-zh@release  # installing d2l
 
import numpy as np
import torch
from torch.utils import data
from d2l import torch as d2l
 
true_w = torch.tensor([2, -3.4])
true_b = 4.2
features, labels = d2l.synthetic_data(true_w, true_b, 1000)#生成数据集
 
def load_array(data_arrays, batch_size, is_train=True):
#is_train表示是否希望数据迭代器对象在每个迭代周期内打乱数据。
 
  dataset = data.TensorDataset(*data_arrays)
  return data.DataLoader(dataset, batch_size, shuffle=is_train)
 
batch_size = 10
data_iter = load_array((features, labels), batch_size)
next(iter(data_iter)) #使用next从迭代器中获取第一项
 
from torch import nn
#定义模型
net = nn.Sequential(nn.Linear(2, 1))
 
net[0].weight.data.normal_(0, 0.01)#张量a，那么a.normal_()就表示用标准正态分布填充a
net[0].bias.data.fill_(0)# b.fill_(0)就表示用0填充b
 
loss = nn.MSELoss()
trainer = torch.optim.SGD(net.parameters(), lr=0.003)
 
num_epochs = 3
for epoch in range(num_epochs):
  for X, y in data_iter:
    l = loss(net(X), y)
    trainer.zero_grad()
    l.backward()
    trainer.step()
  l = loss(net(features), labels)
  print(f'epoch {epoch + 1}, loss {l:f}')
 
w = net[0].weight.data
print('w的估计误差：', true_w - w.reshape(true_w.shape))
b = net[0].bias.data
print('b的估计误差：', true_b - b)

运行结果：