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数据结构之红黑树（RBTree）_红黑树数据结构
作者：AllinToyou | 2024-06-06 19:44:18
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红黑树数据结构
数据结构之红黑树（RBTree）
一、红黑树的概念
红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black，通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的
二、红黑树的性质
- 每个结点不是红色就是黑色
- 根节点是黑色的
- 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的
- 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均 包含相同数目的黑色结点
- 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)
思考：为什么满足上面的性质，红黑树就能保证：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍？
三、红黑树节点的定义
enum Color { Red, Black }; template <class K,class V> struct TreeNode { TreeNode(const pair<K, V>& kv) :_left(nullptr) ,_right(nullptr) ,_parent(nullptr) ,_kv(kv) ,_col(Red) {} TreeNode* _left; TreeNode* _right; TreeNode* _parent; pair<K, V> _kv; Color _col; };
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思考：在节点的定义中，为什么要将节点的默认颜色给成红色的？
四、红黑树结构
为了后续实现关联式容器简单，红黑树的实现中增加一个头结点，因为跟节点必须为黑色，为了与根节点进行区分，将头结点给成黑色，并且让头结点的 pParent 域指向红黑树的根节点，pLeft域指向红黑树中最小的节点，_pRight域指向红黑树中最大的节点，如下：
五、红黑树的插入操作
红黑树是在二叉搜索树的基础上加上其平衡限制条件，因此红黑树的插入可分为两步：
1. 按照二叉搜索的树规则插入新节点
先按照搜索二叉树的规则找到插入节点的位置
bool Insert(const pair<K, V>& kv) { if (_root == nullptr) { _root = new Node(kv); _root->_col = Black; return true; } Node* cur = _root; Node* parent = nullptr; while (cur) { if (cur->_kv.first > kv.first) { parent = cur; cur = cur->_left; } else if(cur->_kv.first < kv.first) { parent = cur; cur = cur->_right; } else { return false; } } if (parent->_kv.first > kv.first) { cur = new Node(kv); parent->_left = cur; cur->_parent = parent; } else { cur = new Node(kv); parent->_right = cur; cur->_parent = parent; } ******************************************************************* }
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2. 检测新节点插入后，红黑树的性质是否造到破坏
新增:插入红色节点
1、插入节点的父亲是黑色，那么就结束了。没有违反任何规则。
2、插入节点的父亲是红色的，那么存在连续的红色节点，违反规则3，需要处理
关键看叔叔uncle其他几个节点c p g三个颜色固定
约定:cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点
因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整；但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论：
这里大分类有两类（逻辑分类）：
- uncle存在且为红色（不需要判断位置关系）
- uncle存在且为黑色或者uncle不存在（需要判断位置关系，继续分类）
但实际转化为代码时，需要看cur p g u三者之间的位置关系来分类，因为不同位置调整的方式不同
- p在g的左边，u在g的右边 或者 p在g的右边，u在g的左边
- p如果在左边，cur也在左边 或者 p在右边，cur也在右边
- p如果在左边，cur在右边 或者 p在右边，cur在左边
在这三种位置关系的情况下，再结合逻辑分类进行分类
以下是分类逻辑图
情况一
这种情况下 uncle存在且为红色
情况二
分为两个小情况
-
cur在这棵树的外侧
-
cur在这棵树的内侧
3. 插入代码
bool Insert(const pair<K, V>& kv) { if (_root == nullptr) { _root = new Node(kv); _root->_col = Black; return true; } Node* cur = _root; Node* parent = nullptr; while (cur) { if (cur->_kv.first > kv.first) { parent = cur; cur = cur->_left; } else if(cur->_kv.first < kv.first) { parent = cur; cur = cur->_right; } else { return false; } } if (parent->_kv.first > kv.first) { cur = new Node(kv); parent->_left = cur; cur->_parent = parent; } else { cur = new Node(kv); parent->_right = cur; cur->_parent = parent; } while (parent && parent->_col == Red) { if (parent->_col == Black) { break; } //parent是红色，需要先找祖父，再寻找uncle Node* grandparent = parent->_parent; Node* uncle = nullptr; //parent在左 uncle在右 if (grandparent->_left == parent) { uncle = grandparent->_right; //uncle存在且为红色 if (uncle && uncle->_col == Red) { parent->_col = Black; uncle->_col = Black; grandparent->_col = Red; //继续向上更新 cur = grandparent; parent = cur->_parent; } //uncle存在且为黑色或者uncle不存在 else { //cur在左，右单旋 if (cur == parent->_left) { RotateR(grandparent); parent->_col = Black; grandparent->_col = Red; break; } //cur在右，双旋 else { RotateL(parent); RotateR(grandparent); cur->_col = Black; grandparent->_col = Red; break; } } } //parent在右 uncle在左 else { uncle = grandparent->_left; //uncle存在且为红色 if (uncle && uncle->_col == Red) { parent->_col = uncle->_col = Black; grandparent->_col = Red; cur = grandparent; parent = cur->_parent; } //uncle存在且为黑色或uncle不存在 else { //cur在右，左单旋 if (cur == parent->_right) { RotateL(grandparent); parent->_col = Black; grandparent->_col = Red; break; } //cur在左，双旋 else { RotateR(parent); RotateL(grandparent); cur->_col = Black; grandparent->_col = Red; break; } } } } _root->_col = Black; return true; }
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六、红黑树的验证
根据红黑树的规则，我们可以中序遍历这棵树打印值来检验是否符合规则，但仅仅这样是不能完全检测出的，我们需要根据红黑树的规则，来设计函数来检测这棵树
- 每个结点不是红色就是黑色
- 根节点是黑色的
- 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的
- 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均 包含相同数目的黑色结点
- 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)
规则1与2只需再开始时检测一边
规则3如果之间判断会不好判断，但我们可以转换思路，如果该节点是红色的，那么他的父节点一定是黑色的，如果是红色就是违背了规则
规则4需要在每条路径走到空的时候与参考值比较，不相等就违背规则，参考值是在调用之前算出某条路径的黑色节点数
bool Isbalance() { if (_root == nullptr) { return true; } if (_root->_col == Red) { return false; } size_t reference = 0; Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_col == Black) { reference++; } cur = cur->_left; } return _Isbalance(_root, reference, 0); } bool _Isbalance(Node* root, size_t reference, size_t bnum) { if (root == nullptr) { if (bnum != reference) { cout << "每条路径黑色节点个数不同" << endl; return false; } return true; } if (root->_col == Red) { if (root->_parent->_col != Black) { cout << "出现连续的红色节点" << endl; return false; } } else { bnum++; } return _Isbalance(root->_left, reference, bnum) && _Isbalance(root->_right, reference, bnum); }
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七、整体代码（含测试）
RBTree.h
#include <iostream> using namespace std; enum Color { Red, Black }; template <class K,class V> struct TreeNode { TreeNode(const pair<K, V>& kv) :_left(nullptr) ,_right(nullptr) ,_parent(nullptr) ,_kv(kv) ,_col(Red) {} TreeNode* _left; TreeNode* _right; TreeNode* _parent; pair<K, V> _kv; Color _col; }; template <class K, class V> class RBTree { typedef TreeNode<K, V> Node; public: bool Insert(const pair<K, V>& kv) { if (_root == nullptr) { _root = new Node(kv); _root->_col = Black; return true; } Node* cur = _root; Node* parent = nullptr; while (cur) { if (cur->_kv.first > kv.first) { parent = cur; cur = cur->_left; } else if(cur->_kv.first < kv.first) { parent = cur; cur = cur->_right; } else { return false; } } if (parent->_kv.first > kv.first) { cur = new Node(kv); parent->_left = cur; cur->_parent = parent; } else { cur = new Node(kv); parent->_right = cur; cur->_parent = parent; } while (parent && parent->_col == Red) { if (parent->_col == Black) { break; } //parent是红色，需要先找祖父，再寻找uncle Node* grandparent = parent->_parent; Node* uncle = nullptr; //parent在左 uncle在右 if (grandparent->_left == parent) { uncle = grandparent->_right; //uncle存在且为红色 if (uncle && uncle->_col == Red) { parent->_col = Black; uncle->_col = Black; grandparent->_col = Red; //继续向上更新 cur = grandparent; parent = cur->_parent; } //uncle存在且为黑色或者uncle不存在 else { //cur在左，右单旋 if (cur == parent->_left) { RotateR(grandparent); parent->_col = Black; grandparent->_col = Red; break; } //cur在右，双旋 else { RotateL(parent); RotateR(grandparent); cur->_col = Black; grandparent->_col = Red; break; } } } //parent在右 uncle在左 else { uncle = grandparent->_left; //uncle存在且为红色 if (uncle && uncle->_col == Red) { parent->_col = uncle->_col = Black; grandparent->_col = Red; cur = grandparent; parent = cur->_parent; } //uncle存在且为黑色或uncle不存在 else { //cur在右，左单旋 if (cur == parent->_right) { RotateL(grandparent); parent->_col = Black; grandparent->_col = Red; break; } //cur在左，双旋 else { RotateR(parent); RotateL(grandparent); cur->_col = Black; grandparent->_col = Red; break; } } } } _root->_col = Black; return true; } void RotateL(Node* parent) { Node* subR = parent->_right; Node* subRL = subR->_left; parent->_right = subRL; subR->_left = parent; Node* parentparent = parent->_parent; if (subRL) subRL->_parent = parent; parent->_parent = subR; if (parent == _root) { subR->_parent = nullptr; _root = subR; } else { subR->_parent = parentparent; if (parentparent->_left == parent) { parentparent->_left = subR; } else { parentparent->_right = subR; } } } void RotateR(Node* parent) { Node* subL = parent->_left; Node* subLR = subL->_right; parent->_left = subLR; subL->_right = parent; Node* parentparent = parent->_parent; if (subLR) { subLR->_parent = parent; } parent->_parent = subL; if (parent == _root) { subL->_parent = nullptr; _root = subL; } else { subL->_parent = parentparent; if (parentparent->_left == parent) { parentparent->_left = subL; } else { parentparent->_right = subL; } } } void InOrder() { _InOrder(_root); cout << endl; } bool Isbalance() { if (_root == nullptr) { return true; } if (_root->_col == Red) { return false; } size_t reference = 0; Node* cur = _root; while (cur) { if (cur->_col == Black) { reference++; } cur = cur->_left; } return _Isbalance(_root, reference, 0); } private: void _InOrder(Node* root) { if (root == nullptr) { return; } _InOrder(root->_left); cout << root->_kv.first << " "; _InOrder(root->_right); } bool _Isbalance(Node* root, size_t reference, size_t bnum) { if (root == nullptr) { if (bnum != reference) { cout << "每条路径黑色节点个数不同" << endl; return false; } return true; } if (root->_col == Red) { if (root->_parent->_col != Black) { cout << "出现连续的红色节点" << endl; return false; } } else { bnum++; } return _Isbalance(root->_left, reference, bnum) && _Isbalance(root->_right, reference, bnum); } Node* _root = nullptr; };
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RBTree.c
#include "RBTree.h" #define N 1000 int main() { srand((unsigned int)time(NULL)); RBTree<int, int> t; for (int i = 0; i < N; i++) { int sum = rand(); cout << "插入数据为" << sum; t.Insert(make_pair(sum, sum)); if (t.Isbalance()) { cout << "插入后符合规则" << endl; } else { cout << "插入后不符合规则" << endl; } } return 0; }
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