数据结构之查找（顺序、折半、分块查找，B树、B+树、散列表）_数据结构查找方法有哪些

一、线性结构查找

1、顺序查找
（1）无序的线性查找
基本思想：从线性表的一端开始，逐个检查关键字是否满足给定的条件。特点：当N比较大时，查找效率低。

（2）有序的线性查找：查效率比无序查找略高。

2、折半查找
基本思想：折半查找又称二分查找，仅适用于有序的顺序表。将给定的值与表中间位置的元素比较，相等则查找成功；不相等则继续在中间元素以外的前半部分或后半部分继续查找；如此重复，直到找到为止，若没有指定元素，则查找失败。

案例：

3、分块查找
基本思想：吸取了顺序查找和折半查找各自的优点，既有动态结构，又适于快速查找。将表分为若干子块，块内元素可以无序，块之间必须是有序的。
案例：88、24、72、61、21、6、32、11、8、31、22、83、78、54

二、树形结构查找

1、B树
B树：又叫多路平衡查找树，B树种所有结点的孩子个数的最大值称为B树的阶，通常用m表示。B树也是所有结点的平衡因子均等于0的多路平衡查找树。

（1）m叉树的特性：

• 1）树中每个结点至多有m棵子树，即至多含有m-1个关键字；
• 2）若根节点不是终端结点，则至少有两棵子树；
• 3）除根结点外的所有非叶节点至少有m/2棵子树，至少有m/2-1个关键字；
• 4）所有非叶结点的结构如下：
  
• 5）所有的叶结点都出现在同一层次上，并且不带信息

案例：

（2）B树的高度范围：

（3）B树的用途
使用B-tree结构可以显著减少定位记录时所经历的中间过程，从而加快存取速度。这个数据结构一般用于数据库的索引，综合效率较高。

（4）B树的查找
B树的查找：类似二叉排序树的查找，不同的是B树每个结点上是有多个关键字的有序表，在到达某个结点时，先在有序表中查找，若找到，则查找成功；否则，到按照对应的指针信息指向的子树中去查找，当到达叶子结点时，则说明树中没有对应的关键码。
案例：

• 1）首先从根节点a开始，因为 a 节点中只有一个关键字35，且给定值47 > 关键字35，则若存在必在指针A1所指的子树内。
• 2）顺指针找到 c节点，该节点有两个关键字（43和 78），而43 < 47 < 78,若存在比在指针A1所指的子树中。
• 3）同样，顺指针找到 g节点，在该节点找到关键字47,查找成功。

（4）B树的插入（可能涉及结点的分裂）
案例：3阶B树，假设需依次插入关键字30，26，85。

• 1）首先通过查找确定插入的位置。由根节点a开始查找，确定30应插入的在d 节点中。由于d 中关键字数目不超过2（即m-1），故第一个关键字插入完成：如图（b）
  
• 2）同样，通过查找确定关键字26亦应插入 d， 由于d节点关键字数目超过2，此时需要将 d分裂成两个节点，关键字26及其前、后两个指针仍保留在 d 节点中。而关键字37 及其前、后两个指针存储到新的产生的节点 d中。同时将关键字30 和指示节点 d的指针插入到其双亲的节点中。由于 b节点中的关键字数目没有超过2，则插入完成.如图（c）(d)
  
  
• 3） (e) -(g) 为插入85后；
  
  
  

（5）B树的删除（可能涉及结点的合并操作）

• 1）被删关键字K不在终端结点，可以用K的前驱或后继k来替代K，然后在相应的结点中删除k，关键字k必定落在某个终端结点中。
  
• 2）被删的关键字在终端结点中，有三种情况：
  a、直接删除关键字：若被删关键字所在结点的关键字个数≥m/2，则可直接删除关键字；
  b、兄弟够借：若被删关键字所在结点的关键字个数=m/2-1，且与此节点相邻的兄弟结点的关键字个数≥m/2，则需要调整该结点、兄弟结点及其双亲结点，以达到新的平衡；
  
  c：兄弟不够借：若被删关键字所在结点的关键字个数=m/2-1，且与此节点相邻的兄弟结点的关键字个数均=m/2-1，则将关键字删除后与兄弟节点及其双亲节点中的关键字合并。
  

2、B+树

（1）B+树的特征以及与B树的差别

（2）每个叶子节点都有一个指针，指向下一个数据，形成一个有序链表。而只有叶子节点才会有data，其他都是索引。

（3）B+树的插入
案例：阶数为5。

• a）空树中插入5。
  

• b）依次插入8，10，15，16。
  
  插入16后产生分裂：
  

• c）插入17，18
  
  插入18后产生分裂：
  

• d) 插入几个数据后。
  

• e)再继续插入7。
  
  
  最终的分裂结果：
  

三、散列表

1、散列函数：一个把查找表中的关键字映射成该关键字对应的地址的函数。散列函数可能会把两个或两个以上的不同关键字映射到同一地址，这种情况称为冲突；冲突是不可避免的额，所以要设计处理冲突的方法。

2、散列表：根据关键字直接进行访问的数据结构。

3、构造散列函数的注意事项：
（1）散列函数的定义必须包含全部需要存储的关键字，而值域的范围则依赖于散列表的大小或地址范围；
（2）散列函数计算处理的地址应该能等概率、均匀地分布在整个地址空间中，从而减少冲突的发生；
（3）散列函数应尽量简单，能够在较短的时间内计算出任一关键字对用的散列地址。

4、常用的散列函数
（1）直接定址法
关键码本身和地址之间存在某个线性函数关系时，散列函数取为关键码的线性函数，即：H(key)=a*key+b，a、b均为常数。这样的散列函数优点就是简单、均匀，也不会产生冲突，但问题是这需要事先知道关键字的分布情况，适合査找表较小且连续的情况。由于这样的限制，在现实应用中，直接定址法虽然简单，但却并不常用。

（2）数字分析法
假设关键码完全已知，且每个关键码都是以某个数r为基数（例以10为基数的十进制数）的值，则关键码中若干位恰能构成分布比较均匀的散列地址空间时，可取关键码的若干位的组合作为散列地址。

（3）除留余数法
通过选择适当的正整数p，按计算公式 H(K)=Key%p 来计算关键码K的散列地址。若关键码个数为n，散列表表长为m（一般m>=n），通常选p为小于或等于表长m的最大素数或不包含小于20的质因子的合数，一般也要求p>=n。这种方法计算最简单，也不需根据全部关键码的分布情况研究如何从中析取数据，最常用。

（4）平方取中法
将关键码K平方，取K^2中间几位作为其散列地址H(K)的值。假如有以下关键字序列{421，423，436}，平方之后的结果为{177241，178929，190096}，那么可以取{72，89，00}作为Hash地址。

5、处理冲突的方法
（1）开放定址法

• 1）线性探测法
  从发生冲突位置的下一个位置开始寻找空的散列地址。发生冲突时，线性探测下一个散列地址是：Hi=(H(key)+di)%m，（di=1,2,3…,m-1）。闭散列表长度为m。它实际是按照H(key)+1，H(key)+2,…,m-1,0,1,H(key)-1的顺序探测，一旦探测到空的散列地址，就将关键码记录存入。该方法会产生堆积现象，即使是同义词也可能会争夺同一个地址空间，今后在其上的查找效率会降低。
• 2）平方探测法
  发生冲突时，下一位置的探测采用公式：Hi=(H(key)+di)%m(di=1^2,-12,2^2,-22,…,q^2,-q2,q<=根号下m)在一定程度上可解决线性探测中的堆积现象。缺点是不能探测散列表上的所有单元，但至少能探测一半的单元。
• 3）随机探测法
  di为{1,2,3,…,m-1}中的数构成的一个随机数列中顺序取的一个数。
• 4）再散列函数法
  除基本散列函数外，事先设计一个散列函数序列，RH1,RH2,…,RHk，k为某个正整数。RHi均为不同的散列函数。对任一关键码，若在某一散列函数上发生冲突，则再用下一个散列函数，直到不发生冲突为止。

（2）拉链法
将所有散列地址相同的记录存储在同一个单链表中，该单链表为同义词单链表，或同义词子表。该单链表头指针存储在散列表中。散列表就是个指针数组，下标就是由关键码用散列函数计算出的散列地址。初始，指针数组每个元素为空指针，相当于所有单链表头指针为空，以后每扫描到一条记录，按其关键码的散列地址，在相应的单链表中加入含该记录的节点。开散列表容量可很大，仅受内存容量的限制。
案例：具体的关键字列表为（19,14,23,01,68,20,84,27,55,11,10,79），则哈希函数为H（key）=key MOD 13。则采用除留余数法和链地址法后得到的预想结果应该为：

6、散列表的性能分析

案例性能分析：

（1）开放定址法的平均查找长度

ASL成功=（1+1+1+3+4+1+2+8）/8=21/8
ASL失败=（9+8+7+6+5+4+3+2+1+1+1）/11=47/11

（2）拉链法的平均查找长度

ASL成功=（1x6+2x4+3x1+4x1）/12=21/12=1.75
ASL失败=（1+5+1+3+1+1+3+2+1+1+3+2+1）/13=25/13

（3）装填因子