数据结构——时间复杂度与空间复杂度

一、算法效率

算法的复杂度

算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。 因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。
时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。
在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计
算机的存储容量已经达到了很高的程度。
所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

二、时间复杂度

1.时间复杂度的概念

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。一
个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知
道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个
分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法
的时间复杂度。

即：找到某条基本语句与问题规模N之间的数学表达式，就是算出了该算法的时间复杂度

请计算一下Func1中++count语句总共执行了多少次？

void Func1(int N)
{
	int count = 0;
	for (int i = 0; i < N ; ++ i)
	{
		for (int j = 0; j < N ; ++ j)
		{
			++count;
		}
	}
	for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
	{
		++count;
	}
	int M = 10;
	while (M--)
	{
		++count;
	}
	printf("%d\n", count);
}
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Func1 执行的基本操作次数: F(N）=N^2+2*N+10

N = 10 F(N) = 130
N = 100 F(N) = 10210
N = 1000 F(N) = 1002010

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这
里我们使用大O的渐进表示法。

2.大O的渐进表示法

大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：
1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：O（N^2）

N = 10 F(N) = 100
N = 100 F(N) = 10000
N = 1000 F(N) = 1000000
通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。
另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)
平均情况：任意输入规模的期望运行次数
最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x
最好情况：1次找到
最坏情况：N次找到
平均情况：N/2次找到
在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况 ，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

3.例子

计算斐波那契递归Fib的时间复杂度

long long Fib(size_t n)
{
	if (n < 3)
		return 1;
	else
		return Fib(n - 1) + Fib(n - 2);
}
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所以斐波那契递归Fib的时间复杂度为O（2^N）

计算阶乘递归Fac的时间复杂度

long long Fac(size_t N)
{
	if(N == 0)
		return 0;
	retrun Fac(n-1)*N;
}
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分析发现基本操作递归了N次，每次操作都是一次，所以时间复杂度为O(N)。

实际上， 递归的时间复杂度等于递归次数 * 每次递归的执行次数

三、空间复杂度

1.空间复杂度概念

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。

空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数 。
空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

注意：函数运行时所需要的栈空间(存储参数、局部变量、一些寄存器信息等)在编译期间已经确定好了，因
此空间复杂度主要通过函数在运行时候显式申请的额外空间来确定

2.例子

计算冒泡排序的时间复杂度

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
	for (size_t i = 1; i < end; ++i)
	{
		if (a[i-1] > a[i])
		{
			Swap(&a[i-1], &a[i]);
			exchange = 1;
		}
	}
	if (exchange == 0)
		break;
	}
}
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使用了常数个额外空间，所以空间复杂度为 O(1)

计算阶乘递归Fac的空间复杂度

long long Fac(size_t N)
{
	if(N == 0)
		return 1;
	return Fac(N-1)*N;
}
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递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)

四、常见复杂度对比

一般算法常见的复杂度如下：