人工智能数学基础——线性代数_线性代数与人工智能

    必备的数学知识是理解人工智能不可或缺的要素，所有的人工智能技术归根到底都建立在数学模型之上，而这些数学模型又都离不开线性代数（linear algebra）的理论框架。

    线性代数不仅仅是人工智能的基础，更是现代数学和以现代数学作为主要分析方法的众多学科的基础。从量子力学到图像处理都离不开向量和矩阵的使用。而在向量和矩阵背后，线性代数的核心意义在于提供了⼀种看待世界的抽象视角：万事万物都可以被抽象成某些特征的组合，并在由预置规则定义的框架之下以静态和动态的方式加以观察。

    线性代数中最基本的概念是集合（set）。在数学上，集合的定义是由某些特定对象汇总而成的集体。集合中的元素通常会具有某些共性，因而可以用这些共性来表示。对于集合 { 香蕉，橘子，苹果 } 来说， 所有元素的共性是它们都是水果；对于集合 {猪，马，羊} 来说，所有元素的共性是它们都是动物。当然 { 香蕉，羊} 也可以构成一个集合，但这两个元素并没有明显的共性，这样的集合在解决实际问题中的作用也就相当有限。

“    香蕉”或是“羊”这样的具体概念显然超出了数学的处理范围，因而集合的元素需要进行进一步的抽象，用数字或符号来表示。如此一来，集合的元素既可以是单个的数字或符号，也可以是多个数字或符号以某种方式排列形成的组合。

    在线性代数中，由单独的数 $a$构成的元素被称为标量（scalar）：一个标量$a$可以是整数、实数或复数。如果多个标量 $a1,a2,⋯,an$ 按一定顺序组成一个序列，这样的元素就被称为向量（vector）。显然，向量可以看作标量的扩展。原始的一个数被替代为一组数，从而带来了维度的增加，给定表示索引的下标才能唯一地确定向量中的元素。

    每个向量都由若干标量构成，如果将向量的所有标量都替换成相同规格的向量，得到的就是如下的矩阵（matrix）:

$$\begin{bmatrix} {a_{11}}&{a_{12}}&{a_{13}}\\ {a_{21}}&{a_{22}}&{a_{23}}\\ {a_{31}}&{a_{32}}&{a_{33}}\\ \end{bmatrix}$$

    相对于向量，矩阵同样代表了维度的增加，矩阵中的每个元素需要使用两个索引确定。同理，如果将矩阵中的每个标量元素再替换为向量的话，得到的就是张量（tensor）。直观地理解，张量就是高阶的矩阵。

    如果把三阶魔方的每一个小方块看作一个数，它就是个$3×3×3$的张量，$3×3$ 的矩阵则恰是这个魔方的一个面，也就是张量的一个切片。相比于向量和矩阵，张量是更加复杂，直观性也更差的概念。

    向量和矩阵不只是理论上的分析工具，也是计算机工作的基础条件。人类能够感知连续变化的世界，可计算机只能处理离散取值的二进制信息，因而来自模拟世界的信号必须在定义域和值域上同时进行数字化，才能被计算机存储和处理。从这个角度看，线性代数是用虚拟数字世界表示真实物理世界的工具。

    在计算机存储中，标量占据的是零维数组；向量占据的是一维数组，例如语音信号；矩阵占据的是二维数组，例如灰度图像；张量占据的是三维乃至更高维度的数组，例如 RGB 图像和视频。

    描述作为数学对象的向量需要有特定的数学语言，范数和内积就是代表。范数（norm）是对单个向量大小的度量，描述的是向量自身的性质，其作用是将向量映射为一个非负的数值。通用的 $L^p$ 范数定义如下：

$$|x|_p=(\sum_{i}|x_i|^p)^\frac{1}{p}$$

    对⼀个给定向量，$L^1$范数计算的是向量所有元素绝对值的和，$L^2$ 范数计算的是向量长度，$L^\infty$ 范数计算的则是向量中最大元素的取值。

    范数计算的是单个向量的尺度，内积（inner product）计算的则是两个向量之间的关系。两个相同维数向量内积的表达式为:

$$\langle x,y\rangle=\sum_{i}x_i.y_i$$

    即对应元素乘积的求和。内积能够表示两个向量之间的相对位置，即向量之间的夹角。一种特殊的情况是内积为 0，即 $\langle x,y\rangle=0$。在二维空间上，这意味着两个向量的夹角为 90 度，即相互垂直。而在高维空间上，这种关系被称为正交（orthogonality）。如果两个向量正交，说明他们线性无关，相互独立，互不影响。

    在实际问题中，向量的意义不仅是某些数字的组合，更可能是某些对象或某些行为的特征。范数和内积能够处理这些表示特征的数学模型，进而提取出原始对象或原始行为中的隐含关系。

    如果有一个集合，它的元素都是具有相同维数的向量（可以是有限个或无限个）， 并且定义了加法和数乘等结构化的运算，这样的集合就被称为线性空间（linear space），定义了内积运算的线性空间则被称为内积空间（inner product space）。在线性空间中，任意一个向量代表的都是 n 维空间中的一个点；反过来， 空间中的任意点也都可以唯一地用一个向量表示。两者相互等效。

    在线性空间上点和向量的相互映射中，一个关键问题是参考系的选取。在现实生活中，只要给定经度、纬度和海拔高度，就可以唯一地确定地球上的任何一个位置，因而经度值、纬度值、高度值构成的三维向量 (x, y, h) 就对应了三维物理空间中的⼀个点。

    人工神经网络要处理的通常是数以万计的特征，对应着维度同样数以万计的复杂空间，这时就需要正交基的概念了。

    在内积空间中，一组两两正交的向量构成这个空间的正交基（orthogonal basis），假若正交基中基向量的 L2 范数都是单位长度 1，这组正交基就是标准正交基（orthonormal basis）。正交基的作用就是给内积空间定义出经纬度。⼀旦描述内积空间的正交基确定了，向量和点之间的对应关系也就随之确定。

    需要注意的是，描述内积空间的正交基并不唯一。对二维空间来说，平面直角坐标系和极坐标系就对应了两组不同的正交基，也代表了两种实用的描述方式。

    线性空间的一个重要特征是能够承载变化。当作为参考系的标准正交基确定后，空间中的点就可以用向量表示。当这个点从一个位置移动到另一个位置时，描述它的向量也会发生改变。点的变化对应着向量的线性变换（linear transformation），而描述对象变化抑或向量变换的数学语言，正是矩阵。

    在线性空间中，变化的实现有两种方式：一是点本身的变化，二是参考系的变化。在第一种方式中，使某个点发生变化的方法是用代表变化的矩阵乘以代表对象的向量。可是反过来，如果保持点不变，而是换一种观察的角度，得到的也将是不同的结果，

    在这种情况下，矩阵的作用就是对正交基进行变换。因此，对于矩阵和向量的相乘，就存在不同意义：

$$Ax=y$$

    这个表达式既可以理解为向量 x 经过矩阵 A 所描述的变换，变成了向量 $y$；也可以理解为一个对象在坐标系 A 的度量下得到的结果为向量$x$，在标准坐标系$I$（单位矩阵：主对角线元素为 1，其余元素为 0）的度量下得到的结果为向量 y。

    这表示矩阵不仅能够描述变化，也可以描述参考系本身。表达式 $Ax$ 就相当于对向量$x$做了一个环境声明，用于度量它的参考系是 $A$。如果想用其他的参考系做度量的话，就要重新声明。而对坐标系施加变换的方法，就是让表示原始坐标系的矩阵与表示变换的矩阵相乘。

    描述矩阵的⼀对重要参数是特征值（eigenvalue）和特征向量（eigenvector）。对于给定的矩阵$A$，假设其特征值为$λ$，特征向量为$x$，则它们之间的关系如下：

$$Ax=\lambda x$$

    矩阵代表了向量的变换，其效果通常是对原始向量同时施加方向变化和尺度变化。可对于有些特殊的向量，矩阵的作用只有尺度变化而没有方向变化，也就是只有伸缩的效果而没有旋转的效果。对于给定的矩阵来说，这类特殊的向量就是矩阵的特征向量，特征向量的尺度变化系数就是特征值。

    矩阵特征值和特征向量的动态意义在于表示了变化的速度和方向。

    求解给定矩阵的特征值和特征向量的过程叫做特征值分解，但能够进行特征值分解的矩阵必须是 n 维方阵。将特征值分解算法推广到所有矩阵之上，就是更加通用的奇异值分解。