【数据结构】树与堆 （向上/下调整算法和复杂度的分析、堆排序以及topk问题）

1.树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n（n>=0）个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来像一棵倒挂的树，也就是说它是根朝上，而叶朝下的。如下图：

有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点。例如A节点

除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。
例如：B节点又可以分成一棵树，该树只有根，没有子树。
          D节点可以分为根节点和子树。D为根节点，只有一棵子树H。

因此树可以拆分为：根和子树。 每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继；所以，树是递归定义的。

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构，即：树中不能有环！。例如：

1.1树的相关概念

• 节点的度：一个节点含有的子树的个数称为该节点的度； 如上图：A的为6
• 叶节点或终端节点：度为0的节点称为叶节点； 如上图：B、C、H、I…等节点为叶节点
• 分支节点或非终端节点：度不为0的节点； 如上图：D、E、F、G…等节点为分支节点
• 双亲节点或父节点：若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如上图：A是B的父节点
• 孩子节点或子节点：一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如上图：B是A的孩子节点，H是D的孩子节点
• 兄弟节点：具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如上图：B、C是兄弟节点
• 树的度：一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如上图：树的度为6
• 节点的层次：从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推；
• 树的高度或深度：树中节点的最大层次； 如上图：树的高度为4
• 堂兄弟节点：双亲在同一层的节点互为堂兄弟；如上图：H、I互为兄弟节点
• 节点的祖先：从根到该节点所经分支上的所有节点；如上图：A是所有节点的祖先；P的祖先是A、E、J
• 子孙：以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙。如上图：所有节点都是A的子孙
• 森林：由m（m>0）棵互不相交的树的集合称为森林；

1.2树的表示

树结构相对线性表就比较复杂了，要存储表示起来就比较麻烦了，既然保存值域，也要保存结点和结点之间的关系。所以树的结构应该怎么定义呢？

//假设树的度为6
#define N 6
struct TreeNode
{
	int val;
	struct TreeNode* Child[N];
};
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如果这样定义的话，不管你子树有没有孩子都开辟了空间，会比较浪费。

struct TreeNode
{
	int val;
	struct TreeNode** Child;//使用顺序表存储孩子
	int size;//当前个数
	int capacity;//容量
};
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既然浪费了空间，那咱们就动态申请，有几个孩子由size决定，不够就扩容，但这种结构好像也不太好。

struct TreeNode
{
	int val;
	struct TreeNode* leftChile;//左孩子
	struct TreeNode* nextBrother;//右兄弟
};
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左孩子右兄弟法：这种方法设计的非常巧妙，每个节点只记录它左边第一个孩子，其它孩子是第一个孩子的兄弟，由第一个孩子记录。这种方法好像看起来是最好的

2.二叉树

2.1概念

二叉树是从树衍生出来的。
那什么叫二叉树呢？
二叉树：首先它是一棵树，其次它每个节点最多有两个分支；并且对两个分支进行区分，分别叫做左子树和右子树。如下图

从上图可以看出：

1. 二叉树不存在度大于2的结点
2. 二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树

注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

2.2特殊二叉树

1. 满二叉树

满二叉树：一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。
满二叉树的前n-1层全是满的（度为2），叶子全在最后一层
如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k-1，则这个二叉树就是满二叉树。

2. 完全二叉树

完全二叉树跟满二叉树的区别是：完全二叉树的前n-1层也都是满的，最后一层不一定满，但是要求从左到右的节点连续，不能空。(没有左孩子就不能有右孩子)

2.3二叉树的性质

1. 若规定根节点的层数为1，则一棵非空二叉树的第 i 层上最多有2^(i-1)个结点。
2. 若规定根节点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h-1。
3. 对任何一棵二叉树, 如果叶结点个数为 n0 , 度为2的分支结点个数为n2，则有n0=n2+1。
4. 若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，则有h=log₂(n+1)。
5. 有n个元素的完全二叉树的深度是log₂(n)+1。

2.4二叉树的存储

二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构，一种链式结构。

1. 顺序存储

顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树

使用顺序存储存在一个规律：

• leftChild = parent*2+1  

  • 例：C的左孩子的下标为2 * 2+1 = 5

• rightChild = parent*2+2

  • 例：C的右孩子的下标为2 * 2+2 = 6

• parent = (Child - 1) / 2  

  • 例：F的父亲下标为（5-1）/ 2 = 2     G的父亲下标为（6-1）/ 2 = 2

• 有了这个规律我就不需要存储我的孩子或父亲在哪里，我使用下标算就可以了。

2. 链式存储

二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别 用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址，链式结构又分为二叉链和三叉链， 。
该结构一般用来存储非完全二叉树，不会有空间的浪费。

3.堆

• 普通的二叉树是不适合用数组来存储的，因为可能会存在大量的空间浪费。
• 完全二叉树更适合使用顺序结构存储。现实中我们通常把堆(一种二叉树)使用顺序结构的数组来存储

堆：

1. 堆是一棵完全二叉树。
2. 小堆：任何一个父亲 <= 孩子
3. 大堆：任何一个父亲 >= 孩子
4. 将根节点最大的堆叫做最大堆或大根堆，根节点最小的堆叫做最小堆或小根堆

使用堆这种数据结构有什么好处呢？

TopK问题（找最值），最值就在根上。

3.1堆的插入（向上调整）

假设已存在一个堆，现需向堆中插入元素5。

void Swap(HeapDataType* x, HeapDataType* y)
{
	HeapDataType tmp = *x;
	*x = *y;
	*y = tmp;
}

void AdjustUp(HeapDataType* a, int child)
{
	int parent = (child - 1) / 2;
	//while(parent >= 0)

	while (child)
	{
		//孩子小于父亲
		if (a[child] < a[parent])
		{
			//交换
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			//改变下标
			child = parent;

			//继续找父亲
			parent = (child - 1) / 2;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

// 堆的插入
void HeapPush(Heap* php, HeapDataType x)
{
	assert(php);
	//扩容
	if (php->size == php->capacity)
	{
		int newcapacity = php->capacity == 0 ? 4 : 2 * php->capacity;
		HeapDataType* tmp = (HeapDataType*)realloc(php->a, sizeof(HeapDataType)*newcapacity);
		if (tmp == NULL)
		{
			perror("realloc");
			return;
		}
		php->a = tmp;
		php->capacity = newcapacity;
	}

	//将数据先插入到堆中
	php->a[php->size] = x;
	php->size++;

	//插入后向上调整，使其仍然是堆
	//开始调整的位置为数组末尾位置：size-1
	AdjustUp(php->a, php->size - 1);
}
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思考：如何让一个数组变成堆？

将数组的值插入堆中即可

int main()
{
	Heap* heap = HeapCreate();
	int arr[] = { 1,4,7,3,9,10 };
	for (int i = 0; i < sizeof(arr)/sizeof(int); i++)
	{
		HeapPush(heap, arr[i]);
	}
	HeapDestroy(heap);
	return 0;
}
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3.2堆的删除（向下调整）

void AdjustDown(HeapDataType* a, int n, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < n)//有左孩子就继续
	{
		//找小的孩子
		//若右孩子存在 且 右孩子小于左孩子，右孩子是小孩子
		if (child+1 < n && a[child+1] < a[child])
		{
			child++;
		}

		//小孩子小于父亲，交换
		if (a[child] < a[parent])
		{
			Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;
		}
	}
}

// 堆的删除
void HeapPop(Heap* php)
{
	assert(php);
	assert(php->size);

	Swap(&php->a[0], &php->a[php->size - 1]);//交换
	php->size--;//删除数组尾位置

	AdjustDown(php->a, php->size, 0);
}
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由于向下调整法最多调整高度次，那么它的时间复杂度是O(logN)

3.3堆的创建

下面我们给出一个数组，这个数组逻辑上可以看做一颗完全二叉树，但是还不是一个堆，现在我们通过算法，把它构建成一个堆。根节点左右子树不是堆，我们怎么调整呢？

3.3.1使用向上调整

从数组的第二个元素开始，使其按照小堆/大堆的规则调整成堆

void HeapCreat(Heap* php, HeapDataType* a, int n)
{
	assert(php);
	php->a = (HeapDataType*)malloc(sizeof(HeapDataType) * n);//申请和数组同样大的空间
	if (php->a == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		return;
	}
	memcpy(php->a, a, sizeof(HeapDataType) * n);//将数组中的元素拷贝进堆
	php->size = n;
	php->capacity = n;

	//向上调整，使其成堆
	for (int i = 1; i < n; i++)
	{
		AdjustUp(php->a, i);
	}
}
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3.3.2使用向下调整

用向下调整法，我们从倒数的第一个非叶子节点的子树开始调整，一直调整到根节点的树，就可以调整成堆。
其实本质上就是：从下往上，将根的每个子树调整成堆

由于最后一个元素的下标为n-1，所以它的父亲应该是：(其下标-1)/2，也就是(n-1-1)/2。

void HeapCreat(Heap* php, HeapDataType* a, int n)
{
	assert(php);
	php->a = (HeapDataType*)malloc(sizeof(HeapDataType) * n);//申请和数组同样大的空间
	if (php->a == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		return;
	}
	memcpy(php->a, a, sizeof(HeapDataType) * n);//将数组中的元素拷贝进堆
	php->size = n;
	php->capacity = n;
	//向下调整，使其成堆
	for (int i = (n - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		AdjustDown(php->a, n, i);
	}
}
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3.3.3两种建堆方式的比较

1. 树的高度与节点个数的关系

2. 向上调整法建堆时间复杂度的分析

因此，向上调整建堆的时间复杂度为：O(N*log₂N)

3. 向下调整法建堆时间复杂度的分析

因此，向下调整建堆的时间复杂度为：O(N)

O(N*log₂N) 与O(N)看来两种方法的效率差别还是挺大的。为什么差别这么大呢？

3.4堆排序

堆排序即利用堆的思想来进行排序，总共分为两个步骤：

1. 建堆
   升序：建大堆
   降序：建小堆

2. 利用堆删除思想来进行排序
   首位交换
   最后一个值不看做堆里面的，向下调整选出次大的数据

#include<stdio.h>
void _Swap(int* a, int* b)
{
	int tmp = *a;
	*a = *b;
	*b = tmp;
}

void _AdjustDown(int* a, int n, int parent)
{
	int child = parent * 2 + 1;
	while (child < n)
	{
		//右孩子存在，且大于左孩子
		if (child + 1 < n && a[child + 1] > a[child])
		{
			child++;
		}
		//孩子大于父亲，交换
		if (a[child] > a[parent])
		{
			_Swap(&a[child], &a[parent]);
			parent = child;
			child = parent * 2 + 1;
		}
		else
		{
			break;//孩子不大于父亲，调整结束
		}
	}
}

int main()
{
	int arr[] = { 3,1,9,18,22,16 };
	int sz = sizeof(arr) / sizeof(arr[0]);

	//向下调整建堆
	for (int i = (sz - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		_AdjustDown(arr, sz, i);
	}

	int end = sz - 1;
	while (end > 0)
	{
		_Swap(&arr[0], &arr[end]);//首位交换
		_AdjustDown(arr, end, 0);
		end--;
	}

	for (int i = 0; i < sz; i++)
	{
		printf("%d ", arr[i]);
	}
	return 0;
}
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所以堆排序的时间复杂度是：建堆O(N)+每个节点需要调整的次数(N-1）* logN 。 该排序的时间复杂度最终为：N*logN

3.5TopK问题

TOP-K问题：即求数据中前K个最大的元素或者最小的元素，一般情况下数据量都比较大。比如：专业前10名、世界500强、富豪榜、游戏中前100的活跃玩家等。
对于Top-K问题，能想到的最简单直接的方式就是排序，但是：如果数据量非常大，排序就不太可取了(可能数据都不能一下子全部加载到内存中)。最佳的方式就是用堆来解决，基本思路如下：

1. 用数据集合中前K个元素来建堆
   前k个最大的元素，则建小堆
   前k个最小的元素，则建大堆
2. 用剩余的N-K个元素依次与堆顶元素来比较，不满足则替换堆顶元素
3. 将剩余N-K个元素依次与堆顶元素比完之后，堆中剩余的K个元素就是所求的前K个最小或者最大的元素。

void TopK(int k)
{
	FILE* fp = fopen("data.txt", "r");
	if (fp == NULL)
	{
		return;
	}
	int* heap = (int*)malloc(sizeof(int) * k);
	if (heap == NULL)
	{
		perror("malloc fail");
		return;
	}
	//先读取k个数据
	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		fscanf(fp, "%d", &heap[i]);
	}

	//根据k个数据建小堆
	for (int i = (k - 1 - 1) / 2; i >= 0; i--)
	{
		_AdjustDown(heap, k, i);
	}

	int num = 0;
	while (fscanf(fp, "%d", &num) != EOF)
	{
		//读取堆顶数据，比它大就替换它，进堆
		if (num > heap[0])
		{
			heap[0] = num;
			_AdjustDown(heap, k, 0);
		}
	}

	for (int i = 0; i < k; i++)
	{
		printf("%d ", heap[i]);
	}
	fclose(fp);
}
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