高等代数复习：矩阵秩的基本公式_aoob的秩

本篇文章适合个人复习翻阅，不建议新手入门使用

矩阵秩的基本公式

均记矩阵 $A$ 的秩为 $r(A)$

初等变换方法

结论1：
$$r(kA)=r(A),\forall k\ne 0$$
由定义容易证明

结论2：
r ( A B ) ≤ min ⁡ { r ( A ) , r ( B ) } r(AB)\leq \min\{r(A),r(B)\} r(AB)≤min{r(A),r(B)}
证明：只需证 $r(AB)\le r(A)$，记 $A$ 的列向量组为 $A_1,\dots ,A_n$
注意到若任意$A_i$ 能被 $A_{i_1},\dots ,A_{i_r}$ 线性表出，则任意 $A_{i}B$ 能被 $A_{i_1}B,\dots ,A_{i_r}B$ 线性表出
这即说明 $r(AB)\le r(A)$

结论3：
r ( A O O B ) = r ( A ) + r ( B ) r

$$\begin{pmatrix} A&O\\ O&B\\ \end{pmatrix}$$ =r(A)+r(B) r(AO​OB​)=r(A)+r(B)
证明：相抵标准型，设 $r(A)=r_1,r(B)=r_2$，则存在非异阵 $P_1,Q_1$ 和 $P_2,Q_2$ 使得
$$P_{1}A{Q}_1=\left(\begin{array}{cc}{I}_{r_1}& O\\ O& O\end{array}\right),P_{2}B{Q}_2=\left(\begin{array}{cc}{I}_{r_2}& O\\ O& O\end{array}\right)$$则
$$\left(\begin{array}{cc}{P}_1& O\\ O& P_2\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}{Q}_1& O\\ O& Q_2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cccc}{I}_{r_1}& O& O& O\\ O& O& O& O\\ O& O& I_{r_2}& O\\ O& O& O& O\end{array}\right)$$由此易得结论

结论4：
r ( A C O B ) ≥ r ( A ) + r ( B ) , r ( A O D B ) ≥ r ( A ) + r ( B ) r

$$\begin{pmatrix} A&C\\ O&B\\ \end{pmatrix}$$ \geq r(A)+r(B),r $$\begin{pmatrix} A&O\\ D&B\\ \end{pmatrix}$$ \geq r(A)+r(B) r(AO​CB​)≥r(A)+r(B),r(AD​OB​)≥r(A)+r(B)
证明思路与结论3类似

结论5：
r ( A ∣ B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) , r ( A B ) ≤ r ( A ) + r ( B ) r(A|B)\leq r(A)+r(B),r

$$\begin{pmatrix} A\\B \end{pmatrix}$$ \leq r(A)+r(B) r(A∣B)≤r(A)+r(B),r(AB​)≤r(A)+r(B)
证明：只需注意到
$$(I|I)\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)=(A|B),\left(\begin{array}{cc}A& O\\ O& B\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}I\\ I\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}A\\ B\end{array}\right)$$

结论6：
$$r(A+B)\le r(A)+r(B),r(A-B)\le r(A)+r(B)$$
证明：只需注意到
( A ∣ B ) ( I I ) = A + B , ( A ∣ B ) ( I − I ) = A − B (A|B)

$$\begin{pmatrix} I\\I \end{pmatrix}$$ =A+B, (A|B) $$\begin{pmatrix} I\\-I \end{pmatrix}$$ =A-B (A∣B)(II​)=A+B,(A∣B)(I−I​)=A−B

结论7：
$$r(A-B)\ge |r(A)-r(B)|$$
由结论6容易证明：$$r(A-B)+r(A)\ge r(B)$$

结论8：（Sylvester不等式）
$$r(AB)\ge r(A)+r(B)-n$$其中 $n$ 为 $A$ 的列指标，也是 $B$ 的行指标

证明：只需注意到，用初等变换可得
( I n O O A B ) → ( B I n O A )

$$\begin{pmatrix} I_n&O\\ O&AB\\ \end{pmatrix}$$ \to $$\begin{pmatrix} B&I_n\\ O&A\\ \end{pmatrix}$$ (In​O​OAB​)→(BO​In​A​)

结论9：（Sylvester不等式的推广）
设 $n$ 阶方阵 $A_1,A_2,\dots ,A_m$ ，则
$$r(A_1)+r(A_2)+\cdots +r(A_m)\le (m-1)n+r(A_1{A}_2\cdots A_m)$$

结论10：（Frobenius不等式）（Sylvester不等式的另一推广）
$$r(ABC)\ge r(AB)+r(BC)-r(B)$$
证明：只需注意到，用初等变换可得
( A B C O O B ) → ( A B O B B C )

$$\begin{pmatrix} ABC&O\\ O&B\\ \end{pmatrix}$$ \to $$\begin{pmatrix} AB&O\\ B&BC\\ \end{pmatrix}$$ (ABCO​OB​)→(ABB​OBC​)

结论11：幂等矩阵关于秩的刻画
$n$ 阶矩阵是幂等矩阵（即 $A^2=A$ ）当且仅当
$$r(A)+r(I_n-A)=n$$
证明：只需注意到，用初等变换可得
( A O O I − A ) → ( A − A 2 O O I )

$$\begin{pmatrix} A&O\\ O&I-A\\ \end{pmatrix}$$ \to $$\begin{pmatrix} A-A^2&O\\ O&I\\ \end{pmatrix}$$ (AO​OI−A​)→(A−A2O​OI​)

结论11：对合矩阵关于秩的刻画
$n$ 阶矩阵是对合矩阵（即 $A^2=I_n$ ）当且仅当
$$r(I_n+A)+r(I_n-A)=n$$
证明：只需注意到，用初等变换可得
( I n + A O O I n − A ) → ( 1 2 ( I n − A 2 ) O O 2 I n )

$$\begin{pmatrix} I_n+A&O\\ O&I_n-A\\ \end{pmatrix}$$ \to $$\begin{pmatrix} \frac{1}{2}(I_n-A^2)&O\\ O&2I_n\\ \end{pmatrix}$$ (In​+AO​OIn​−A​)→(21​(In​−A2)O​O2In​​)

结论12：
设 $n$ 阶矩阵 $A$，则$$r(A)+r(I_n+A)\ge n$$
证明：只需注意到，用初等变换可得
( A O O I n + A ) → ( A 2 + A O O I n )

$$\begin{pmatrix} A&O\\ O&I_n+A\\ \end{pmatrix}$$ \to $$\begin{pmatrix} A^2+A&O\\ O&I_n\\ \end{pmatrix}$$ (AO​OIn​+A​)→(A2+AO​OIn​​)

结论13：（秩的降阶公式）

1. 若 $A$ 可逆，则
   $$r\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)=r(A)+r(D-C{A}^{-1}B)$$
2. 若 $D$ 可逆，则
   $$r\left(\begin{array}{cc}A& B\\ C& D\end{array}\right)=r(D)+r(A-B{D}^{-1}C)$$
3. 若 $A,D$ 均可逆，则
   $$r(A)+r(D-C{A}^{-1}B)=r(D)+r(A-B{D}^{-1}C)$$

结论14：
设 $A,B$ 都是数域 $\mathbb{K}$ 上的 $n$ 阶矩阵且 $AB=BA$，则
$$r(A+B)\le r(A)+r(B)-r(AB)$$

证明：（方法1）
只需注意到
( I I O I ) ( A O O B ) ( I − B I A ) = ( A + B O B A B )

$$\begin{pmatrix} I&I\\O&I\\ \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} A&O\\O&B \end{pmatrix}$$ $$\begin{pmatrix} I&-B\\ I&A\\ \end{pmatrix}$$ = $$\begin{pmatrix} A+B&O\\B&AB\\ \end{pmatrix}$$ (IO​II​)(AO​OB​)(II​−BA​)=(A+BB​OAB​)

线性方程组方法

结论15：
设 $A$是 $m\times n$ 型矩阵，齐次线性方程组 $AX=0$ 的解空间为 $V$，则
$$\dim V+r(A)=n$$

结论16：

1. 设 $A$ 是 $m\times n$ 阶实矩阵，则
   $$r(A^{\prime }A)=r(A{A}^{\prime })=r(A)$$
2. 设 $A$ 是 $m\times n$ 阶复矩阵，则
   $$r({\overline{A}}^{\prime }A)=r(A{\overline{A}}^{\prime })=r(A)$$

证明1：由结论15，只需证 $AX=0$ 与 $A^{\prime }AX=0$ 同解
一方面，显然 $AX=0$ 的解都是 $A^{\prime }AX=0$ 的解
另一方面，$A^{\prime }AX=0$ 的解满足 $X^{\prime }{A}^{\prime }AX=(AX{)}^{\prime }AX=0$，则 $AX=0$

结论17
方程组 $ABX=0$ 和方程组 $BX=0$ 同解当且仅当 $r(AB)=r(B)$

参考书：《高等代数学》谢启鸿 姚慕生 吴泉水 编著